高中数学必修一函数应用实例 一，我们已经学过一次函数、二次函数及分段函数，应用这些函数能解决我们遇到的许多实际数学问题..例 1、旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为 15000 元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在 30 人或 30 人以下，飞机票每张收费 900 元；若旅游团的人数多于 30 人，则给与优惠，每多 1 人，机票费每张减少 10 元，但旅游团的人数最多有 75 人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？ 例 2、某单位计划用围墙围出一块矩形场地。现有材料可筑墙的总长度为 l。如果要使围墙围出一块矩形场地的面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？ 二，能够运用指数函数，对数函数、幂函数的性质解决某些简单的有关人口增长率、经济、物理等方面的实际问题． 例 3、按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a 元，每期利率为 r，设本利和为 y，存期为 x，写出本利和 y 随存期 x 变化的函数式。如果你父亲存入本金 1000 元，每期利率 2.25%，试计算 5 期后的本利和是多少（精确到 0.01 元）？ 三，练习 练习1：建造一个容积为 8m2，深为 2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为 120 元/m 2和 80 元/m2，求水池的最低总造价为多少元？ 练习2：用长度为 24m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度为 练习3：一种放射性元素，最初的质量为 500g，按每年 10％衰减。
（1）求 t 年后，这种放射性元素质量 ω 的表达式;（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（精确到 0.1）.例 1，解：设旅游团的人数为 x 人，飞机票为 y 元，依题意，得当 1 30 x 时，900 y ；当 30 75 x 时，900 10(30)10 1200 y x x ； 所以所求函数为900(1 30)10 1200(30 75)xyx x 设利润为 Q，则2900 15000(1 30)1500010 1200 15000(30 75)x xQ y xx x x 当 1 30 x 时，max900 30 15000 12000 Q ，当 30 75 x 时，2 210 1200 15000 10(60)21000 Q x x x ，所以当 60 x 时，max21000 Q 12000 ，答：当旅游团人数为 60 人时，旅行社可获得最大利润 21000 元。
例 2，解：设矩形的长为 x，则宽为(2)2ll x ，从而矩形的面积为 2(2)2 2l lS x l x x x 224 16l lx （02lx ）由此可得，函数在4lx 时取得最大值，且2max16lS ，这是矩形的宽为 22 4l x l 即当这个矩形的边长为4l时，所围成的面积最大为216l，此时矩形为正方形。
例 3,解：已知本金为 a 元，让学生逐步说出各期后的本利和。
一期后的本利和为：
； 二期后的本利和为：
三期后的本利和为：
……x 期后的本利和为：
将，代入上式得（元）练习1 解：设水池的造价为 y 元，长方形底的一边长为 x m.由于底面积为 4m2，∴另一边长为 4x m，那么y ＝120×4＋2×80 2 x ＋2× 4x＝480＋320 x ＋ 4x.令 g(x)＝ x ＋ 4x，下面判断函数g(x)在(0，＋∞)上的单调性． 任取 0< x 1 < x 2 ≤2，则 Δ x ＝ x 2 － x 1 >0，Δ y ＝ g(x 2)－ g(x 1)＝x 2 ＋4x 2－x 1 ＋4x 1＝(x 2 － x 1)＋x 1 － x 2x 1 x 2＝(x 2 － x 1)1－4x 1 x 2＝Δ x · x1 x 2 －4x 1 x 2.∵0< x 1 < x 2 ≤2，∴ x 1 x 2 －4<0.又∵Δ x >0，x 1 x 2 >0，∴Δ y <0，故 g(x)在(0,2]上为减函数． 同理，可得 g(x)在[2，＋∞)上为增函数． 由以上讨论，知 g(x)在 x ＝2 时有最小值 g(2)＝2＋ 42 ＝4.∴ y ＝480＋320 x ＋ 4x有最小值 480＋320×4＝1760.答：水池的最低总造价为 1760 元． 练习2 解：设隔墙的长为 x m，矩形面积为 S，则 S ＝ x ·－4 x2＝ x ·(12－2 x)＝－2 x2 ＋12 x ＝－2(x －3)2 ＋18.所以当 x ＝3m 时，S 有最大值为 18m2.练习3 解：1）因为 最初的质量为 500 克，经过 1 年，； 经过 2 年，； 由此推出，经过 t 年，.2）由题意知，即 两边取对数，得 即 所以 所以，这种放射性元素的半衰期约为 6.6 年。
