高等数学下册试卷 2013．7．5 姓名：
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一、填空题[每小题4分，共20分] 1.设，则 0 2.设,则 3.函数在点处沿指向点方向的方向导数 4.设是所围成的区域, 则 5.设是抛物线介于点与点之间的那一段弧段，则曲线积分 二、（本题7分）证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数 解 因为 与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。
又，或，或 于是函数在点存在有一阶偏导数。
三、（本题7分）设, 求 解 令，则，于是用公式得 四、（本题7分）计算二重积分，其中 解 被积函数有 而积分区域关于对称，取 从而 五、（本题7分）设为两球的公共部分，计算三重积分 解 由 当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，于是分段先二后一积分，得 六、（本题8分）计算曲线积分，其中为摆线从点到点的弧。
解 由于 补两条直线是逆向的闭曲线，故 原式 或由曲线积分与路径无关，直接得 原式得 或取，由曲线积分与路径无关，直接得，原式 或者由是全微分表达式，凑微分，因 及 得 原式 七、（本题8分）计算曲面积分，式中是上半球面的上侧 解 补一个平面，取下侧，则原式 另法（看看: 归一化，多次换元够烦的）
即，上半球面指向上侧法线为，从而 , 原式= 八、（本题7分）求定解问题的解 解 标准化，由标准方程的解的公式，得 由初值条件，有，于是特解为 九、（本题7分）求微分方程的通解 解 对应的齐次方程为，解得特征根 非齐次项，与标准形式比较，从而得是单根，从而，可设特解为，从而，代入原来的微分方程，得 即 于是根据解的结构定理得，所求通解为 十、（本题7分）设函数在内有连续的导数，且满足。求 解 用极坐标 两边求导得，标准化为 于是 由得，故 十一、[非化工类做]（每小题3分，共15分）
（1）判别无穷级数的收敛性。
解 由于，故 而是收敛的的级数的常数倍，从而收敛。由正项级数的比较判别法可知无穷级数收敛。
（2）求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。
解 比较标准幂级数，得，从而收敛半径为，收敛区间为 当时幂级数化为正项级数，由于，从而与调和级数一样发散；
当时幂级数化为交错级数，不绝对收敛，但，前一部分条件收敛，而后一部分减去的级数为正项级数，由于而收敛，从而由收敛级数的性质，当时幂级数收敛。
（3）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。
解 利用，从而 十一、[化工类做]（每小题3分，共15分）
（1）求曲面在点处的切平面和法线方程 解 令，则 从而切点的法向量为 从而切平面为 法线方程为（2）在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。
解 设点为，则 等价于求在约束之下的最小值。令 且由 解得驻点，最短距离为（令计算起来更加方便，舍去驻点，）
（3）求曲面包含在圆柱面内那部分（记为）的面积。
解 记为在部分的面积，或者
