第1篇：全等三角形证明
全等三角形证明
1、已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，问AF=CE吗？说明理由。
CA
2、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，问AE=DF吗？说明理由。
F
3、已知，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，问∠D=∠E吗？说明理由。
4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问AB∥CD吗？
A B
C
第2篇：全等三角形证明
全等三角形的证明
1.翻折
如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；
旋转
如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；
平移
如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。
2.判定三角形全等的方法：
（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边（直角三角形中）公理
（2）推论：角角边定理
3.注意问题：
（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；
（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。
一、全等三角形知识的应用
（1）证明线段（或角）相等
例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC
（2）证明线段平行
例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AE=CF.求证：AB∥CD
（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE
例4 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．
．
例5：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO为等腰Rt三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。
例6.如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。
N
M
FE
C
A B
第3篇：全等三角形证明专题
1、(10分)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE,F是
垂足，过B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.（1）求证：AE=CD；（2）AC=12cm,求BD的长.F
2、（10分）如图，AB=CD,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F，CE=BF,连接AD交EF于点O，猜想O为
那些线段的中点？请选择其中一种结论证明.EO
3、（12分）如图，在梯形ABCD中，AB//CD, ∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD的中点，求
证：CE⊥BE.D C
E
BA
4、如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，求△PMN的周长。（7分）
5．在△ABC中,∠ACB＝90o,AC＝BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于
E.（10分）
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证: DE＝AD＋BE
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.6、如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF交AB于点E，连接EG。（10分）（1）求证：BG=CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明。
E
A C
B
7、（本题10分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长为。
A
B
8、（本题10分）如图:△ABC和△ADE是等边三角形.证明：BD=CE.A
B
D
E
C
9.（本题满分7分）如图16，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，CF、BE相交于点D，且BD＝CD.
求证：AD平分∠BAC.F
A
图16 10.（本题满分7分）数学课上，张老师画出图17，并写下了四个等式：
①
AB=DC，②BE=CE，③∠B
=∠C，④∠
BAE =∠CDE． 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成．．．．．．张老师提出的问题，并说明理由．（写出一种即可）已知：＿＿＿＿＿＿＿＿（填番号）． 求证：△AED是等腰三角形． 证明：
A
D
图17 11．（6分）如图：FG是OA上两点，MN是OB上两点，且FG=MN，△PFG的面积＝△PMN的面积
试问，点P是否在∠AOB
12.（本题满分7分）
（1）如图18 ①，点C在线段AB上，△ACM，△CBN都是等边三角形，求证：∠1=∠2；（2）△CBN固定不动，将△ACM绕点C按逆时针方向旋转（△CBN和△ACM不重叠），如图18 ②，AN、BM交点E,其它条件不变，求∠BEN的大小.N
N
EM
2A
C 图18 ①
A
图18 ②
B
B
13．（本题满分8分）如图19在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BE=CD，BD=CF.（1）求证：△BED≌△CDF；（2）当∠A=50°时，求∠EDF的度数；（3）试判断△EDF可能是等腰直角三角形吗？(写出结果不证明)
D
图19
14.如图，A、B两点是湖两岸上的两点，为测A、B两点距离，由于不能直接测量，请你设计一种方案，测出A、B两点的距离，并说明你的方案的可行性。
15．八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B
（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；
（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.16．（8分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．
A
C
E
B F
第4篇：全等三角形的证明
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全等三角形的证明
1、已知：（如图）AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA。
B C
2、已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB。AC
3、已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE。
A
C
ED
4、已知，如图，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD。求证：AB=DE，AC=DF。
E
B F C
5、已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。
E
D
B
C
6、已知，如图，AB=AD，DC=CB，求证：∠B=∠D。
B
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A 全等三角形的证明
2、已知：（如图）AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA。
B C
2、已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB。AC
3、已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE。
C 1
B
ED
4、已知，如图，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD。求证：AB=DE，AC=DF。
E
B F C
5、已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。
E
D
B C
6、已知，如图，AB=AD，DC=CB，求证：∠B=∠D。
B
A
第5篇：全等三角形证明题
全等三角形证明题精选
一．解答题（共30小题）
1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．
2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．
3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．
4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点．（1）求证：△AOD≌△BOC；（2）求证：AD∥BC．
第1页（共26页）
5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．
6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．
7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．
8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．
9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE．
10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．
第2页（共26页）
11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．
12．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．
13．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．
14．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．
15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．
第3页（共26页）
16．如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．
17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．
18．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF． 求证：△ABC≌△DEF．
19．已知：点 A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ABM≌△CDN，并给出证明．（1）你添加的条件是： ；（2）证明：
．
20．如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．
第4页（共26页）
21．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F． 求证：BE=CF．
22．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．
23．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2． 请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明． 题设： ；结论：
．（均填写序号）证明：
24．如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1． 求证：AC=DF．（要求：写出证明过程中的重要依据）
25．如图，已知AB=DC，AC=DB．求证：∠1=∠2．
第5页（共26页）
26．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．
（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题： 命题的条件是 和，命题的结论是
和
（均填序号）；（2）证明你写出的命题．
27．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．
28．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，点E是BC边上的中点． 求证：AE=DE．
29．如图，给出下列论断：①DE=CE，②∠1=∠2，③∠3=∠4．请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．
30．已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE=BF．
第6页（共26页）
全等三角形证明题精选
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）1．（2016•连云港）四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．
【分析】（1）根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵BE=DF，∴BE﹣EF=DF﹣EF，即BF=DE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△ADE与Rt△CBF中，∴Rt△ADE≌Rt△CBF；
（2）如图，连接AC交BD于O，∵Rt△ADE≌Rt△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．，【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
2．（2016•曲靖）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．
第7页（共26页）
【分析】（1）首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE=∠DEF，进而可得AC∥DE；
（2）根据△ABC≌△DFE可得BC=EF，利用等式的性质可得EB=CF，再由BF=13，EC=5进而可得EB的长，然后可得答案． 【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACE=∠DEF，∴AC∥DE；
（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC=EF，∴CB﹣EC=EF﹣EC，∴EB=CF，∵BF=13，EC=5，∴EB==4，∴CB=4+5=9．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
3．（2016•孝感）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．
第8页（共26页）
【分析】要证明BE=CD，只要证明AB=AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，从而可以证得结论．
【解答】证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠ADB=∠AEC=90°，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（ASA）∴AB=AC，又∵AD=AE，∴BE=CD．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
4．（2016•湘西州）如图，点O是线段AB和线段CD的中点．（1）求证：△AOD≌△BOC；（2）求证：AD∥BC．
【分析】（1）由点O是线段AB和线段CD的中点可得出AO=BO，CO=DO，结合对顶角相等，即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOD≌△BOC；
（2）结合全等三角形的性质可得出∠A=∠B，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出结论．
【解答】证明：（1）∵点O是线段AB和线段CD的中点，∴AO=BO，CO=DO． 在△AOD和△BOC中，有∴△AOD≌△BOC（SAS）．（2）∵△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B，∴AD∥BC．
第9页（共26页），【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是：（1）利用SAS证出△AOD≌△BOC；（2）找出∠A=∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等，结合全等三角形的性质找出相等的角，再依据平行线的判定定理证出两直线平行即可．
5．（2016•云南）如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．
【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，即可证明△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质：得出结论．
【解答】证明：∵点C是AE的中点，∴AC=CE，在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE，∴∠B=∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形还有HL．
6．（2016•宁德）如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．
【分析】根据平行线的性质找出∠ADE=∠BAC，借助全等三角形的判定定理ASA证出△ADE≌△BAC，由此即可得出AE=BC． 【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAC． 在△ADE和△BAC中，∴△ADE≌△BAC（ASA），∴AE=BC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7．（2016•十堰）如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．
第10页（共26页）
【分析】欲证明AF=DF只要证明△ABF≌△DEF即可解决问题． 【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠FED，在△ABF和△DEF中，∴△ABF≌△DEF，∴AF=DF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于基础题，中考常考题型．
8．（2016•武汉）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．
【分析】证明它们所在的三角形全等即可．根据等式的性质可得BC=EF．运用SSS证明△ABC与△DEF全等．
【解答】证明：∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC=∠DEF，∴AB∥DE． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．
9．（2016•昆明）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB
第11页（共26页）
求证：AE=CE．
【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案． 【解答】证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE=CE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解题的关键．
10．（2016•衡阳）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．
【分析】求出AD=BC，根据ASA推出△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质得出即可． 【解答】证明：∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，∴AD=BC，在△AED和△BFC中，∴△AED≌△BFC（ASA），∴DE=CF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△AED≌△BFC是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．
11．（2016•重庆）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．
第12页（共26页）
【分析】根据CE∥DF，可得∠ACE=∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，在△ACE和△FDB中，∴△ACE≌△FDB（SAS），∴AE=FB．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
12．（2016•南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可
（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．
【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；
（2）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C，第13页（共26页）
在△ACM和△ABN中，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
13．（2016•恩施州）如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．
【分析】通过全等三角形（Rt△CBE≌Rt△BCD）的对应角相等得到∠ECB=∠DBC，则AB=AC．
【解答】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CEB=∠BDC=90°． ∵在Rt△CBE与Rt△BCD中，∴Rt△CBE≌Rt△BCD（HL），∴∠ECB=∠DBC，∴AB=AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
14．（2016•重庆）如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“边角边”证明△ABC和△CED全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可． 【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，在△ABC和△CED中，∴△ABC≌△CED（SAS），∴∠B=∠E．
第14页（共26页）
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出两边的夹角是解题的关键．
15．（2016•湖北襄阳）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB=AC；（2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．
【分析】（1）先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明．
（2）先证明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性质设CD=a，AC=2a，根据勾股定理列出方程即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，在RT△DEB和RT△DFC中，∴△DEB≌△DFC，∴∠B=∠C，∴AB=AC．
（2）∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2∴AC=2CD，设CD=a，则AC=2a，∵AC2=AD2+CD2，∴4a2=a2+（2）2，∵a＞0，∴a=2，∴AC=2a=4．，∠DAC=30°，【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30°性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，属于中考常考题型．
第15页（共26页）
16．（2016•吉安校级一模）如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．
【分析】根据全等三角形的性质得到CD=AF，证明∴△DGC≌△AGF，根据全等三角形的性质和角平分线的判定得到∠CBG=∠FBG，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∴BC=BF，BD=BA，∴CD=AF，在△DGC和△AGF中，∴△DGC≌△AGF，∴GC=GF，又∠ACB=∠DFB=90°，∴∠CBG=∠FBG，∴∠GBF=（90°﹣28°）÷2=31°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质角平分线的判定，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
17．（2016•武汉校级四模）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．
【分析】由垂直的定义可得到∠C=∠D，结合条件和公共边，可证得结论． 【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90，在Rt△ACB和Rt△BDA中，∴△ACB≌△BDA（HL）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
第16页（共26页）
18．（2016•济宁二模）已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF．
求证：△ABC≌△DEF．
【分析】求出BC=FE，∠ACB=∠DFE，根据SAS推出全等即可． 【解答】证明：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=FE，∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
19．（2016•诏安县校级模拟）已知：点 A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ABM≌△CDN，并给出证明．（1）你添加的条件是： ∠MAB=∠NCD ；（2）证明： 在△ABM和△CDN中 ∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD ∴△ABM≌△CDN（ASA）． ．
【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL，所以可添加条件为∠MAB=∠NCD，或BM=DN或∠ABM=∠CDN． 【解答】解：（1）你添加的条件是：①∠MAB=∠NCD；（2）证明：在△ABM和△CDN中
∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD ∴△ABM≌△CDN（ASA），故答案为：∠MAB=∠NCD； 在△ABM和△CDN中
∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD ∴△ABM≌△CDN（ASA）．
第17页（共26页）
【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
20．（2016•屏东县校级模拟）如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．
【分析】要证∠B=∠C，可利用判定两个三角形全等的方法“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”证△ABE≌△ACD，然后由全等三角形对应边相等得出． 【解答】证明：在△ABE与△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C．
【点评】本题主要考查了两个三角形全等的其中一种判定方法，即“边角边”判定方法．观察出公共角∠A是解决本题的关键．
21．（2016•沛县校级一模）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F． 求证：BE=CF．
【分析】易证△BED≌△CFD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题． 【解答】解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），第18页（共26页）
∴BE=CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键．
22．（2016•福州）一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．
【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．
23．（2012•漳州）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2． 请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．
题设： 可以为①②③ ；结论： ④ ．（均填写序号）证明：
【分析】此题可以分成三种情况：情况一：题设：①②③；结论：④，可以利用SAS定理证明△ABC≌△DEF；情况二：题设：①③④；结论：②，可以利用AAS证明△ABC≌△DEF；情况三：题设：②③④；结论：①，可以利用ASA证明△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质可推出结论．
【解答】情况一：题设：①②③；结论：④． 证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF．
在△ABC和△DEF中，第19页（共26页），∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠1=∠2；
情况二：题设：①③④；结论：②．
证明：在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC=EF，∴BC﹣FC=EF﹣FC，即BF=EC；
情况三：题设：②③④；结论：①． 证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，此题为开放性题目，需要同学们有较强的综合能力，熟练应用全等三角形的全等判定才能正确解答．
24．（2009•大连）如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1． 求证：AC=DF．（要求：写出证明过程中的重要依据）
【分析】因为BE=CF，利用等量加等量和相等，可证出BC=EF，再证明△ABC≌△DEF，从而得出AC=DF．
【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC（等量加等量和相等）．
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即BC=EF．
在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠1，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴AC=DF（全等三角形对应边相等）．
【点评】解决本题要熟练运用三角形的判定和性质．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
25．（2006•平凉）如图，已知AB=DC，AC=DB．求证：∠1=∠2．
【分析】探究思路：因为△ABO与△DCO有一对对顶角，要证∠1=∠2，只要证明∠A=∠D，把问题转化为证明△ABC≌△DCB，再围绕全等找条件． 【解答】证明：在△ABC和△DCB中 ∵，∴△ABC≌△DCB． ∴∠A=∠D．
又∵∠AOB=∠DOC，∴∠1=∠2．
【点评】本题是全等三角形的判定，性质的综合运用，可以由探究题目的结论出发，找全等三角形，再寻找判定全等的条件．
26．（2006•佛山）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．
（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题： 命题的条件是 ① 和 ③，命题的结论是 ② 和 ④（均填序号）；（2）证明你写出的命题．
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【分析】本题实际是考查全等三角形的判定，根据条件可看出主要是围绕三角形ABE和ACD全等来求解的．已经有了一个公共角∠A，只要再知道一组对应角和一组对应边相等即可得出三角形全等的结论．可根据这个思路来进行选择和证明． 【解答】解：（1）命题的条件是①和③，命题的结论是②和④．
（2）已知：D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且AB=AC，∠ABE=∠ACD． 求证：OB=OC，BE=CD． 证明如下：
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∠BAC=∠CAB，∴△ABE≌△ACD． ∴BE=CD．
又∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=∠ABC﹣∠ABE=∠CBE，∴△BOC是等腰三角形． ∴OB=OC． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，要注意的是AAA和SSA是不能判定三角形全等的．
27．（2005•安徽）如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．
【分析】本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．
【解答】解：此图中有三对全等三角形．分别是：△ABF≌△DEC、△ABC≌△DEF、△BCF≌△EFC． 证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D．
又∵AB=DE、AF=DC，∴△ABF≌△DEC．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
28．（2004•昆明）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，点E是BC边上的中点．
求证：AE=DE．
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【分析】利用已知条件易证△AEB≌△DEC，从而得出AE=DE． 【解答】证明：∵AD∥BC，∠B=∠C，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，在△AEB与△DEC中，∴△AEB≌△DEC（SAS），∴AE=DE．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
29．（2004•淮安）如图，给出下列论断：①DE=CE，②∠1=∠2，③∠3=∠4．请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．
【分析】可以有三个真命题：
（1）②③⇒①，可由ASA证得△ADE≌△BCE，所以DE=EC；（2）①③⇒②，可由SAS证得△ADE≌△BCE，所以∠1=∠2；
（3）①②⇒⑧，可由ASA证得△ADE≌△BCE，所以AE=BF，∠3=∠4． 【解答】解：②③⇒① 证明如下： ∵∠3=∠4，∴EA=EB．
在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE． ∴DE=EC．
①③⇒② 证明如下： ∵∠3=∠4，∴EA=EB，第23页（共26页）
在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE，∴∠1=∠2．
①②⇒⑧ 证明如下：
在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE． ∴AE=BE，∠3=∠4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；题目是一道开放型的问题，选择有多种，可以采用多次尝试法，证明时要选择较为简单的进行证明．
30．（2011•通州区一模）已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE=BF．
【分析】根据AE⊥CD，BF⊥CD，求证∠BCF+∠B=90°，可得∠ACF=∠B，再利用（AAS）求证△BCF≌△CAE即可．
【解答】证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD ∴∠AEC=∠BFC=90° ∴∠BCF+∠B=90° ∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACF=90° ∴∠ACF=∠B 在△BCF和△CAE中∴△BCF≌△CAE（AAS）∴CE=BF．
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【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质这一知识点，解答此题的关键是利用（AAS）求证△BCF≌△CAE，要求学生应熟练掌握．
第25页（共26页）
P
第26页（共26页）
第6篇：证明与全等一
暑假辅导学案
辅导班级或学生：辅导时间：周学科：
证明
（一）
证明：根据已知的定义、基本事实、定理（包过推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。外角：由△ABC的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角
外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
证明几何命题时，表达格式是：首先按题意画出图形，分清命题的条件和结论，结合图形，在‘已知’中写出条件，在‘求证’中写出结论，然后在‘证明’中写出推理过程（添加辅助线要写入证明中）
例题1：证明命题：三角形不共顶点的三个外角的和等于360°
A
2：已知，如图，∠B+∠C+∠D=360°，求证：AB//DE
C
E
3:已知：如图,BC垂直AC于点C，CD垂直AB于点D，∠EBC=∠A，求证：BE//CD
4.命题‘若n是自然数，则代数式(3n+1)(3n+2)+1的值是3的倍数’是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由；然后认为是真命题，给出证明。
5.如图，在Rt△ABC中, ∠C＝90°，∠A＝30°（1）以直角边AC所在的直线为对称轴，将Rt△ABC作轴对称变换，请在原图上作出变换所得的像。（2）Rt△ABC和它的像组成了什么图形？最准确的判断是（）
（3）利用上面的图形，你能找出直角边BC与斜边AB的数量关系吗？并请说明理由。
全等三角形及判定
（一）
能完全的重合的图形称为全等图形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个全等三角形重合时（1）能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角；‘全等’可用符号‘≌’来表示，如△ABC和△DEF全等，记做‘△ABC≌△DEF’，读做三角形ABC全等于三角形DEF
1．能够完全重合的两个图形叫做
全等图形的特征：全等图形的和都相同． 2．全等三角形.两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
（二）、全等三角形的对应元素及表示
1．平移翻折旋转
A
D
A
BC
B
C
甲
EF
乙
D
D
B
丙
E
C
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，•但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略． 2．全等三角形的对应元素（说一说）
（1）对应顶点（三个）——重合的（2）对应边（三条）——重合的（3）对应角（三个）——重合的3．寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是；（2）有公共角的，公共角是；（3）有对顶角的，对顶角是；
（4）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．
简单记为：（1）大边对应大边，大角对应;
(2)公共边是对应边，公共角是4．“全等”用“”表示，读作“
如图甲记作：△ABC≌△DEF读作：△ABC全等于△DEF 如图乙记作：读作：如图丙记作：读作：
注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
（三）、全等三角形的性质
课堂探究
活动一：观察下列各组的两个全等三角形，并回答问题：
A
BDB
E E
BCE第（1）题图第（4）题图
B
DB
D
EC
4．如图：△ABC≌△DBF，找出图中的对应边，对应角．
B答：∠B的对应角是，∠C的对应角是，∠BAC的对应角是；DAB的对应边是，AC的对应边是，BC的对应边是 A
5．如下图，ABC≌CDA，并且BCAD，则下列结论错误的是（）
A．12B．ABCDC．BDD．ACDC
6．如下图，ABC≌BAD，若AB6，AC4，BC5，则AD的长为（）
C
A．4B．5C．6D．以上都不对
7．如下图，直角△ABC沿直角边BC所在直线向右平移得到DEF，下列结论错误的是（）A．ABC≌DEFB．DEF90C．ACDFD．ECCF 8．在ABC中，BC，与ABC全等的三角形有一个角为100，则ABC中与这个100角对应相等的角是（A．AB．BC．CD．B或C
F）
