数学归纳法证明

第1篇：数学归纳法证明不等式

数学归纳法证明不等式的本质

数学归纳法证明不等式的典型类型是与数列或数列求和有关的问题，凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成f(n)g(n)(nN)的形式或近似于上述形式。

这种形式的关键步骤是由nk时，命题成立推导nk1时，命题也成立。为了表示的方便，我们记左nf(k1)f(k)，右ng(k1)g(k)分别叫做左增量，右增量。那么，上述证明的步骤可表述为

f(k1)f(k)左kg(k)左kg(k)右kg(k1)例1．已知an2n1，求证：

本题要证后半节的关键是证 an1a1a2nn(nN)23a2a3an12

2k111中k右k即证k2 212

而此式显然成立，所以可以用数学归纳法证明。

而要证前半节的关键是证

12k11左k中k即证k2 221

而此式显然不成立，所以不能用数学归纳法证明。如果不进行判断就用数学归纳法证前半节，忙乎半天，只会徒劳。

有时，f(n)g(n)(nN)中f(n),g(n)是以乘积形式出现，且f(n)0,g(n)0是显然成立的。此时，可记

左kf(k1)g(k1)，右k f(k)g(k)

分别叫做左增倍，右增倍。那么，用数学归结法证明由nk时，成立推导

nk1成立，可表述为

f(k1)f(k)左kg(k)左kg(k)右kg(k1)

和前面所讲相似，上述四步中，两个“=”和“第2篇：用数学归纳法证明

用数学归纳法证明

1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-n+2/2^n.1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-(n+2)/2^n.1、当n=1时候，左边=1/2;

右边=2-3/2=1/

2左边=右边，成立。

2、设n=k时候，有：

1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2-(k+2)/2^k成立，则当n=k+1时候：有：

1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)

=2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1)

=2-/2^(k+1)

=2-(k+3)/2^(k+1)

=2-/2^(k+1)

得证。

我觉得不是所有的猜想都非要用数学归纳法.比如a1=2,a(n+1)/an=2,这显然是个等比数列

如果我直接猜想an=2^n,代入检验正确,而且对所有的n都成立,这时候干嘛还用数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.我觉得如果是数列求和,猜想无法直接验证,需要数学归纳法,这个是可以接受的.但是上面那种情况,谁能告诉我为什么啊.我觉得逻辑已经是严密的了.结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立.用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的.怎么又扯到思维上了,论严密性我比谁都在意,虽然是猜出来的,毕竟猜想需要,我的问题是--------这样的验证方式严不严密,在没有其他直接证明方法的情况下,是不是一定要用数学归纳法-------,并没有说这样就是对待数学的态度,没有猜想数学怎么发展.这说明你一眼能看出答案，是个本领。

然而，考试是要有过程的，这个本领属于你自己，不属于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支会涨哪支会跌，但是不说出为什么，恐怕也不会令人信服。

比如你的问题，你猜想之后，代入检验，验证成功说明假设正确，这是个极端错误的数学问题，请记住：不是验证了一组答案通过，就说明答案是唯一的!比如x+y=2.我们都知道这是由无数组解的方程。但是我猜想x=y=1,验证成功，于是得到答案，你觉得对吗?所以你的证明方法是严格错误的!

你的这种思想本身就是经不起推敲的，学习数学不是会做多少题，而是给自己建立一套缜密的思维。你的这种思维在学习过程中是一个巨大的绊脚石，你现在做的就是假设某某正确，然后拼死维护它的正确，即使有不严密的地方你也视而不见。我说过，你有一眼看出答案的本领，这只是本领而已，填空题你有优势。但是如果你缺少了证明的思维，证明的本领，那你就成了一个扶不起来的阿斗。最可怕的是你的这个思想：褒一点说善于投机取巧，贬一点说，就是思维惰性，懒。

说说你的这道题，最简单的一道数列题，当然可以一下看出答案，而且你的答案是正确的。但是证明起来就不是那么容易了，答案不是看出来的，是算出来的。你的解法就是告诉大家，所有的答案都是看出来，然后代入证明的。假设看不出来怎么办?那就无所适从，永远也解不出来了!这就是你的做法带来的答案，你想想呢?你的这种做法有什么值得推广的?

OK,了解!

数学归纳法使被证明了的，证明数学猜想的严密方法，这是毋庸置疑的。在n=1时成立;假设n=k成立，则n=k+1成立。这两个结论确保了n属于N时成立，这是严密的。

你的例题太简单，直接用等比数列的定义就可以得到答案(首项和公比均已知)，不能说明你的证明方法有误。我的本意是：任何一种证明方法，其本身是需要严格证明的，数学归纳法是经过严格证明的;而你的证明方法：猜想带入条件，满足条件即得到猜想正确的结论。未经证明，(即使它很严密，我说即使)它不被别人认可。事实上，你的证明方法(猜想带入所有条件均成立)只能得到“必要”答案，并不“充分”，你想一下，A满足B就说A=B显然是不充分的。而数学归纳法充分必要，或者说“不大不小，不缩不放”，用你的方法可以猜想出多套答案，把所有猜想出来的答案归纳一下就是充分必要。

第3篇：用数学归纳法证明

用数学归纳法证明：y

s

0xy



y0

yks

y0s1

证明：当k1时，yys

xy当k2时，yx2y当k3时，yx3y······当kn时，yxny当kn1时，y

y0

sny0s3y0s2

01

要使

y0s

xy



成立

要使

y0s

xy



y0s2

成立

要使

y0s

xy



y0s3

成立

要使

y0s

xy



y0sn

成立

y0

sn1

yy0y01y01y0

yn0nyyn1y

s1sns1sns1

sysysy

xn1y等式成立，即y

y0s

xy



y0sk

第4篇：数列、极限、数学归纳法·用数学归纳法证明不等式

数列、极限、数学归纳法·用数学归纳法证明不等式·教案

证明：（1）当n=1时，左=2，右=2，则等式成立．（2）假设n=k时（k∈N，k≥1），等式成立，即 2+4+6+…+2k=k（k+1）． 当n=k+1时，2+4+6+…+2k+（k+1）

所以n=k+1时，等式也成立．

根据（1）（2）可知，对于任意自然数n，原等式都能成立． 生甲：证明过程正确．

生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，没有应用归纳假设．

师：从形式上看此种证明方法是数学归纳法，但实质在要证明n=k+1正确时，未用到归纳假设，直接采用等差数列求和公式，违背了数学归纳法的本质特点递推性，所以不能称之为数学归纳法．因此告诫我们在运用数学归纳法证明时，不能机械套用两个步骤，在证明n=k+1命题成立时，一定要利用归纳假设．

（课堂上讲评作业，指出学生作业中不妥之处，有利于巩固旧知识，为新知识的学习扫清障碍，使学生引以为戒，所谓温故而知新）

（二）讲授新课

师：在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．（板书）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：（1+x）n＞1+nx． 师：首先验证n=2时的情况．

（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2＞0，则原不等式成立．

（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫）

第5篇：用数学归纳法证明不等式

人教版选修4—5不等式选讲

课题：用数学归纳法证明不等式

教学目标：

1、牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。

2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。

3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。

重点、难点：

1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。

2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。

教学过程：

一、复习导入：

1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？

（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。

（2）步骤：1）归纳奠基;

2）归纳递推。

2、作业讲评：（出示小黑板）

习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)

如采用下面的证法，对吗？

证明：①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。

②假设n=k时，（k∈N，k≥1）等式成立，即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)

当n=k+1时，2+4+6+8+……+2k+2(k+1)

∴ n=k+1时，等式成立。

由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。

（1）学生思考讨论。

（2）师生总结： 1）不正确

2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，违背了数学归纳法本质：递推性。

二、新知探究

明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。(出示小黑板)

例1观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, …… ｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, ……（1）学生观察思考（2）师生分析

（3）解：从第5项起，an ＜ bn，即 n²＜2,n∈N+（n≥5）

证明：（1）当 n=5时，有52＜25，命题成立。（2）假设当n=k（k≥5）时命题成立 即k＜

2当n=k+1时，因为

（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2

由（1）（2）可知n²＜2n（n∈N+，n≥5）

学生思考、小组讨论：①放缩技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k

2②归纳假设：2k

例2

证明不等式│Sin nθ│≤n│Sinθ│(n∈N+)

k n

n2

2k

分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。

证明：（1）当 n=1时，上式左边=│Sinθ│=右边，不等式成立。（2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│

当n=k+1时，│Sin（k+1）θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│ ≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│ =│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│ ≤│Sin kθ│+│Sin θ│ ≤k│Sinθ│+│Sin θ│ =（k+1）│Sinθ│

所以当n=k+1时，不等式也成立。

由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。

学生思考、小组讨论：①绝对值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│

②三角函数的有界性：│Sinθ│≤1,│Cosθ│≤1 ③三角函数的两角和公式。

（板书）例3 证明贝努力（Bernoulli）不等式:

如果x是实数且x＞-1，x≠0,n为大于1的自然数，那么有（1+x）＞1+nx 分析：①贝努力不等式中涉几个字母？（两个：x,n）

②哪个字母与自然数有关？(n是大于1的自然是数)

（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）=1+2x+x，右边=1+2x，因x＞0，则原不等式成立．

（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫）

（2）假设n=k时（k≥2），不等式成立，即（1+x）＞1+kx． 师：现在要证的目标是（1+x）＞1+（k+1）x，请同学考虑．

生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当

k+1k

n=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：（1+x）=（1+x）（1+x），因为x＞

k

-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）（1+x）＞（1+kx）（1+x）．

师：现将命题转化成如何证明不等式（1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x． 显然，上式中“=”不成立．

k+

1k

2n

故只需证：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 提问：证明不等式的基本方法有哪些？

生：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．

（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用）

生：证明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比较法．（1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x] =1+x+kx+kx-1-kx-x

=kx＞0（因x≠0，则x＞0）． 所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 生：也可采用综合法的放缩技巧．

（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx=1+（k+1）x+kx．

因为kx＞0，所以1+（k+1）x+kx＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．

生：……

（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）

师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．

（板书）将例3的格式完整规范．

证明：（1）当n=2时，由x≠0得（1+x）=1+2x+x＞1+2x,不等式成立。

（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即有（1+x）＞1+kx 当n=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）＞（1+x）（1+kx）

k

k

=1+x+kx+ kx＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以当n=k+1时，不等式成立

由①②可知，贝努力不等式成立。

（通过例题的讲解，在第二步证明过程中，通常要进行合理放缩，以达到转化目的）

三、课堂小结

1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．

2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．

四、课后作业

1．课本P53：1，3，5 2．证明不等式：

第6篇：数学归纳法证明不等式教案

§2.3用数学归纳法证明不等式

学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

2.重、难点：应用数学归纳法证明不等式.一、知识情景：

1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

10.验证n取第一个值时命题成立(即n＝n时命题成立)(归纳奠基）；

20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.30.由

10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题都成立！(结论）

要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.二、数学归纳法的应用：

例1.用数学归纳法证明不等式sinn≤nsin.（nN）

证明：（1）当 n=1时，上式左边=│Sinθ│=右边，不等式成立。

（2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│

当n=k+1时，│Sin（k+1）θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│

≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│

=│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│

≤│Sin kθ│+│Sin θ│≤k│Sinθ│+│Sin θ│=（k+1）│Sinθ│

所以当n=k+1时，不等式也成立。

由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。

例2． 证明贝努力（Bernoulli）不等式:

已知xR,且x> 1，且x0，nN*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.证明：（1）当n=2时，由x≠0得（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立。

（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即有（1+x）k＞1+kx

当n=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+x+kx+ kx2＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以当n=k+1时，不等式成立

由（1）（2）可知，贝努力不等式成立。

例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,,an的乘积a1a2an1，那么它们的和a1a2an≥n.三、当堂检测

1、（1）不等式2nn4对哪些正整数n成立？证明你的结论。

1（2）求满足不等式(1)nn的正整数n的范围。n

n2*22n(nN)．

2、用数学归纳法证明

证明：（1）当n=1时，221，不等式成立； 当n=2时，222，不等式成立；当n=3时，223，不等式成立．

*nk(k3,kN)时不等式成立，即 2k2k2．（2）假设当

k1k222则当nk1时，222(22)22k2(k1)k2k3，1222

322kk3∵，∴2k3(k3)(k1)0，（*）

k1222k1222(k1)k2k3(k1)22(k1)从而，∴． 即当nk1时，不等式

也成立． 由（1），（2）可知，22n对一切nN都成立．

四、课堂小结

1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．

2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．

n2*

第7篇：4.2数学归纳法证明不等式

二用数学归纳法证明不等式

教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：理解经典不等式的证明思路.教学过程：

一、复习回顾：

1、数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位；

2、复习数学归纳法的定义和数学归纳法证题的基本步骤；

二、本节主要内容是用数学归纳法证明不等式；

在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：

（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）的变化，要认清不等式的结构

特征；

（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；

（3）活用起点的位置；

（4）有的题目需要先作等价变换。

三、例题

例1：比较n2与2n的大小，试证明你的结论.分析：将n1,2,3,4,5,6代入比较后猜想结论，而后用数学归纳法加以证明

证明：见书P50 ；要点：(k1)2k22k1k22kkk23kk2k2….例2：证明不等式|sinn|n|sin|(nN).证明：（1）当n=1时，不等式显然成立；

（2）假设当n=k时不等式成立，即有：|sink|k|sin|，则当n=k+1时，|sin(k1)||sinkcoscosksin||sinkcos||cosksin|

|sink||cos||cosk||sin||sink||sin|k|sin||sin|(k1)|sin|即当n=k+1时，原不等式也成立；

由（1）（2）知，不等式对一切正整数n均成立；

例3：证明贝努利（Bernoulli）不等式：(1x)n1nx(x1,x0,nN,n1)

22证明：（1）当n=2时，由x0得(1x)12xx12x，即不等式成立；

（2）假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即有(1x)1kx：，则当n=k+1时，(1x)k1k(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x，所以当n=k+1时，原不等式也成立；

由（1）（2）知，贝努利不等式成立；

注：事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数仍有类似不等式成立.当是实数,且或0时,有(1x)≥1x(x1)

当是实数,且01时,有(1x)≤1x(x1)

例

4、证明：如果n(n为正整数)个正数a1,a2,a3,an的乘积a1a2a3an1，那么它们的和

a1a2a3ann；

证明：（1）当n=1时，a1=1，命题显然成立；

（2）假设当n=k时命题成立，即若k个正数a1,a2,a3,ak的乘积a1a2a3ak1，那么他们的和

a1a2a3akk，则当n=k+1时，有k+1个正数a1,a2,a3,ak,ak1满足乘积a1a2a3akak11，若这k+1个正数相等，则它们都是1，其和为k+1，命题成立；

若这k+1个正数不全相等，则其中必有大于1的数，也有小于1的数，不妨设a1>1，a21，a2

a1a2a3akak1k1，即当n=k+1时，命题也成立；

由（1）（2）知，如果n(n为正整数)个正数a1,a2,a3,an的乘积a1a2a3an1，那么它们的和

a1a2a3ann；

思考：课本P53的探究

课堂练习：当n≥2时,求证

:1

2



证明：（1）当n2时，左式1

1

1.7

2右式，当n2时，不等式成立

（2）假设当nk（2)时，不等式成立，即1



则当nk

1时，左式1











右式

当nk1时，不等式成立。

由（1）（2）可知，对一切nN，且n2，不等式都成立。

四、作业：课本P53习题4.1中1，2，3，4，5，6

第8篇：数学归纳法证明不等式学案

§2.3用数学归纳法证明不等式

学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

2.重、难点：应用数学归纳法证明不等式.一、知识情景：

关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

10.验证n取时命题(即n＝n时命题成立)(归纳奠基）

20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题(归纳递推）.30.由

10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题！(结论）

要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.二、数学归纳法的应用：

例1.用数学归纳法证明不等式sinn≤nsin.（nN）

例2证明贝努力（Bernoulli）不等式:

已知xR,且x> 1，且x0，nN*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.1；

例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,,an的乘积a1a2an1,那么它们的和a1a2an≥n.三、当堂检测

1、（1）不等式2nn4对哪些正整数n成立？证明你的结论。

（2）求满足不等式(11n

n)n的正整数n的范围。

2、用数学归纳法证明

2n2n2(nN*)．

§2.3用数学归纳法证明不等式作业纸班级姓名

1、用数学归纳法证明3≥n(n≥3,n∈N)第一步应验证()

A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4

2、观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。

｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ……｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… k

2n

3、用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式1221321n1n

n都成立。

4、若a、b、c三个正数成等差数列，公差d0，自然数n2，求证：ancn2bn。

用数学归纳法证明

数学归纳法证明的步骤

初二数学几何证明教案模板（共3篇）

证明

证明a

《证明a.docx》

将本文的Word文档下载到电脑，方便收藏和打印

推荐度：

点击下载文档