致同学
同学们，高一上学期就这样悄悄的结束了，回顾高一上学期学的数学内容，是不是都不知道学了啥内容，一个学期就结束了，时间过的真快呀！
那么在这个寒假里，老师主要针对一些重要章节做一些拓展加以巩固！主要从三个二次关系以及基本不等式、指数函数和对数函数、函数与方程、三角函数图象和性质、三角函数恒等式、平面向量七大核心难点进一步见解，使我们能更深刻认识、理解这些内容！为下个学期学习奠定扎实的基础，因为整个高一课程比较重要，在高考中占有重大比例，而高一课程对于我们来说也比较难理解，所以整个高一我们需要摸索一些适合自己的方法，在这里我还是要重点讲一下学习方法！要想学好高中数学，主要注意一下8点：一、先看笔记后做作业；二、做题之后加强反思；三、主动复习总结提高；四、重视改错错不重犯；五、积累资料随时整理；六、精挑细选课外读物；七、配合老师主动学习；八、合理规划步步为营.老师反复强调：初中学生学数学，靠一个字，练！高中数学学数学靠的也是一个字，悟！
同学们，只要大家与老师积极配合，同时，对上面所说的八个
方面坚持不懈地做出努力，你们的数学成绩就能突飞猛进，取得飞快的进步！在学习的过程中有什么困难及时和老师沟通、提前祝福大家新年快乐、学习进步！
寒假课程目录
第一讲 三个“二次”问题 3-12
第二讲 基本不等式 13-20
第三讲 函数的基本性质 20-29
第四讲 指数函数与对数函数 30-39
第五讲 函数与方程 40-46
第六讲 函数的综合复习 47-53
第七讲 三角函数图像 54-61
第八讲 三角函数恒等变换 62-67
第九讲 数学建模核心素养 68-74
第十讲 向量的概念与运算 75-78
第十一讲 向量基本定理及坐标表示 79-86
第十二讲 向量应用 87-92
第一讲 三个“二次问题”
模块一【基础巩固】
一．选择题（共9小题）
1．一元二次不等式的解集是，则
A．
2．函数
在上既没有最大值又没有最小值，则
取值值范围是
在上既没有最大值又没有最小值，则
取值值范围是
上既没有最大值又没有最小值，则
取值值范围是
取值值范围是
A．
C．
3.已知不等式的解集是，则不等式的解集是
A．
4．若关于的不等式
在区间，上有解，则实数的取值范围是
A．
二．多选题（共5小题）
5．已知函数，则下列结论正确的是
A．函数的最小值为
B．函数
在上单调递增
C．函数
为偶函数
D．若方程
在上有4个不等实根，，则
6．已知不等式的解集是，则下列结论正确的是
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是
或
D．不等式的解集是
模块二【思维拓展】
三．填空题（共5小题）
7．函数，若对任意的，存在，使，则的取值范围是 ．
8．设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为 ．
9．已知函数，若对于任意，都有
成立，则实数的取值范围为 ．
10．已知，若“，，使得
成立”为真命题，则实数的取值范围是 ．
11．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
四．解答题（共5小题）
12．已知二次函数，方程
有两个实数根、．
（Ⅰ）如果，设函数的对称轴为，求证；
（Ⅱ）如果，且的两实根相差为2，求实数的取值范围．
13．对于函数，若存在，使
成立，则称
为函数的不动点．已知
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）已知
有两个不动点为，求函数的零点；
（3）在（2）的条件下，求不等式的解集．
模块三【核心素养】
14．已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是
A．，C．
15．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度
为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为
米
A．4.25 B．4.5 C．3.9 D．4.05
16．已知函数，若，时，恒成立，则的取值范围为
A．
17.已知，若
对任意，恒成立，则的取值范围是
A．，18．已知函数
有且只有一个零点，则
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
19．已知关于的不等式，下列结论正确的是
A．当，不等式的解集为
B．当
时，不等式的解集可以为的形式
C．不等式的解集恰好为，那么
D．不等式的解集恰好为，那么
20．已知函数，且
（1）
．
（1）求证：函数
有两个不同的零点；
（2）设，是函数的两个不同的零点，求的取值范围；
（3）求证：函数
在区间
内至少有一个零点．
21．已知二次函数，对任意实数，都有
恒成立．
（Ⅰ）证明：
（1）；
（Ⅱ）若，求的表达式；
（Ⅲ）在题（Ⅱ）的条件下设，，若
图象上的点都位于直线的上方，求实数的取值范围．
22．对函数，若存在，且，使得
（其中，为常数），则称
为“可分解函数”．
（1）试判断
是否为“可分解函数”，若是，求出，的值；若不是，说明理由；
（2）用反证法证明：
不是“可分解函数”；
（3）若，是“可分解函数”，则求的取值范围，并写出，关于的相应的表达式．
第二讲 基本不等式
模块一【基础巩固】
一．选择题（共13小题）
1．函数的最小值是
A．4 B．
2．若正实数，满足，则的最小值为
A．
3．已知，当
时，不等式
恒成立，则的取值范围是
A．
4．下列说法正确的是
A．若，则
C．若，则
5．已知实数，且，则的最小值为
A．
6．已知正数，满足，则的最小值为
A．1 B．4 C．8 D．16
模块二【思维拓展】
二．多选题（共6小题）
7．下列说法正确的是
A．若，则函数
有最小值
B．若，，则的最大值为4
C．若，，则的最大值为1
D．若，，则的最小值为4
8．设，且，则下列结论正确的是
A．的最小值为
C．的最小值为
9．下列函数中，最小值是4的函数有
A．
C．
三．填空题（共5小题）
10．已知，，则的最大值为 ．
11．若正实数，满足，则的最大值是 ．
四．解答题（共2小题）
12．如图，某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区
和环公园人行道（阴影部分）组成，已知人行道的宽分别为
和
（1）若休闲区的面积为4000平方米，则要使公园占地面积最小，休闲区的长和宽应如何设计？
（2）若公园的面积为4000平方米，要使休闲区的面积最大，公园的长和宽应如何设计？
模块三【核心素养】
13．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是
A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算
C．两种方案一样 D．无法确定
14．下列说法中正确的是
A．当
时，B．当
时，的最小值是2
C．当
时，的最小值是5
D．若，则的最小值为
15．已知函数，的图象经过定点，若正数，满足，则的最小值是
A．5 B．10 C．
16．已知，都是正实数，则的最大值为
A．
17．若正实数、满足，则的最小值是
A．
18．函数，若存在正实数，，其中
且，使得，则的最大值为
A．6 B．7 C．8 D．9
【多选】19．设正实数，满足，则
A．
C．
【多选】20．下列说法正确的是
A．若，则
B．若，则
C．“
或
”是“
”的必要不充分条件
D．若，则
【多选】21．下面的结论中，正确的是
A．若，则
B．若，，则
C．若，则
D．若
且，则
22．已知，，则：
（1）的最小值是 ；
（2）的最小值是 ．
23．已知，都为正数，则的最大值为 ．
24．如图，四边形
为梯形，其中，若
表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形
与梯形
相似的线段，表示平行于两底且将梯形
分为面积相等的两个梯形的线段．
试研究线段，与代数式，之间的关系（需写出计算过程），并据此得到它们之间的一个大小关系．请你用基本不等式证明所得的结论．
第三讲：函数的基本性质
模块一：【基础巩固】
1．函数的值域为
A．
2．已知函数
在区间，上是单调函数，则实数的取值范围是
A．，C．，3．已知
在上单调递减，则实数的取值范围为
A．
4．已知函数
是奇函数，当
时，且
（2），则
A．1 B．5 C．
5．已知
函数是定义在，上的奇函数，当
时，的图象如图所示，则不等式的解集是
A．，C．，6【多选题】．若函数
满足：，则
可能是
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
7．【多选题】已知，，为大于0的常数，则的值域可能为
A．，模块二【思维拓展】
8．已知函数
在，上单调递减，则的取值范围是
A．，9．已知函数
与
分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则
（1）
A．
10．已知定义在上的函数，都有，且函数
是奇函数，若，则的值为
A．
11．已知
与函数
在区间，上都是减函数，则的取值范围为
A．，C．，12．已知函数
为偶函数，则不等式的解集为 ．
13．已知函数
是定义在上的奇函数，且周期为2，当，时，则的值为 ．
四．解答题（共4小题）
14．设函数
．
（1）证明函数
在区间
上是增函数；
（2）设函数，其中，若对任意的，，都有，试求实数的取值范围．
15．已知二次函数
．
（1）函数在区间，上的最小值记为，求的解析式；
（2）求（1）中的最大值；
（3）若函数
在，上是单调增函数，求实数的取值范围．
模块三【核心素养】
16．已知函数，则不等式的解集为 ．
17.已知函数
是偶函数，直线
与函数
图象自左向右依次交于四个不同点，，若，则实数的值为 ．
18．已知函数，若
（a），则实数的取值范围
19．若函数
在区间，上单调递减，则实数的值是 ．
20．【单选题】已知
是定义在，上的奇函数，当
时，则不等式的解集为
A．，C．，，21．【多选题】定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是
A．，C．，22．【多选题】对于定义域为的函数，若同时满足下条件：①
在内单调递增或单调递减；②存在区间，使
在，上的值域为，那么把
称为闭函数．下列结论正确的是
A．函数
是闭函数
B．函数
是闭函数
C．函数
是闭函数
D．函数，是闭函数
三．填空题（共2小题）
23．已知函数
为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）求证：
在区间，上是增函数；
（3）若对任意的，，都有，求实数的取值范围．
24．已知函数，且
（1）
．
（1）求实数的值，并求函数的值域；
（2）函数，若对任意，总存在，使得
成立，求实数的取值范围．
第四讲 指数函数与对数函数
模块一【基础巩固】
一．选择题（共10小题）
1．已知，则的值为
A．
2．已知，则
可以用
和
表示为
A．
3．已知，则的值是
A．15 B．12 C．16 D．25
4．对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度．已知，，3，5，7，若从集合，中各任取一个数，则
为整数的个数为
A．4 B．5 C．6 D．7
5．函数，若
且，则下列四个式子一成立的是
A．
二．多选题（共5小题）
6．若，则下列说法不正确的是
A．若，则
C．若，则
7．若，则下列命题正确的是
A．
是偶函数
B．
在区间
上是减函数，在上是增函数
C．
没有最大值
D．
没有最小值
8．设函数，下列四个命题正确的是
A．函数
为偶函数
B．若
（a）
（b）
其中，，则
C．函数
在上为单调递增函数
D．若，则
三．填空题
9．请先阅读下面的材料：
对于等式，如果将
视为自变量，视为常数，为关于
（即的函数，记为，那么，是幂函数；如果将
视为常数，视为自变量，为关于
（即的函数，记为，那么，是指数函数；如果将
视为常数，视为自变量，为关于
（即的函数，记为，那么，是对数函数．
事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．例如，如果
为常数
（自然对数的底），将
视为自变量，则
为的函数，记为，那么，若将
表示为的函数，则
．
10．已知，若，则
．
模块二【思维拓展】
11．已知函数
在区间
上为增函数，且对任意，不等式
恒成立，则实数的取值范围是
A．
12．若实数，满足，其中，则下列结论正确的是
A．
13．某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是，空气的温度是，那么
后物体的温度
（单位：
满足：
若将物体放在的空气中从
分别冷却到
和
所用时间为，则，的值为
（取，A．
【多选题】14．关于函数，下列描述正确的有
A．函数
在区间
上单调递增
B．函数的图象关于直线
对称
C．若，但，则
D．函数
有且仅有两个零点
15．若，是方程的两个根，则
．
16．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度
（单位：
与其耗氧量
之间的关系为
（其中
是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于，其耗氧量至少需要 个单位．
17．已知函数
．
（1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性；
（2）记函数，求函数的值域；
（3）若不等式
有解，求实数的取值范围．
18．如图，过函数的图象上的两点，分别作
轴的垂线，垂足分别为，，线段
与函数的图象交于点，且
垂直于
轴．
（1）当，时，求实数的值；
（2）当
时，求的最大值．
模块三【核心素养】
19．设，定义在区间，上的函数，的值域是，若关于的方程
有实数解，则的取值范围是
A．，20．给出定义：若
（其中
为整数），则
叫做离实数
最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数的定义域为，值域为，；
②函数
在上是增函数；
③函数
是周期函数，最小正周期为1；
④函数的图象关于直线
对称．
其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【多选题】21．已知正数，满足，则下列说法中正确的是
A．
四．解答题（共5小题）
22．设函数，且
是定义域为的奇函数，且
（1）
．
（1）求，的值；
（2）求函数
在，上的值域；
（3）设，若
在，上的最小值为，求的值；
（4）对于（3）中函数，如果
在，上恒成立，求的取值范围．
23．如图，已知，、，、，（其中
是指数函数
图象上的三点．
（Ⅰ）当
时，求的值；
（Ⅱ）设，求
关于的函数
及其最小值；
（Ⅲ）设的面积为，求
关于的函数
及其最大值．
24．已知函数
在区间，上有最大值4和最小值1．设
．
（1）求，的值
（2）若不等式
在，上有解，求实数的取值范围；
（3）若
有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
第五讲 函数与方程
一．选择题（共12小题）
1．某同学求函数
零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
（2） | （3） | |
则方程的近似解（精确度
可取为
A．2.52 B．2.625 C．2.66 D．2.75
2．设，现用二分法求方程
在区间
内的近似解，计算得
（1），，（2），则方程的根所在的区间是
A．
3．设函数
对任意的满足，当，时，有
．若函数
在区间，上有零点，则的值为
A．
或7 B．
或7 C．
或6 D．
或6
4．用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点
∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为
A．，C．，5．中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：
．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度
取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中
叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比
从1000提升至8000，则
大约增加了
A．
6．若函数
在上没有零点，则的取值范围是
A．
二．多选题（共8小题）
7．若关于的一元二次方程
有实数根，且，则下列结论中正确的说法是
A．
C．当
时，8．已知关于的方程
有两个相等的实数根，则
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
9．已知函数，则下列判断正确的是
A．
为奇函数
B．对任意，则有
C．对任意，则有
D．若函数
有两个不同的零点，则实数的取值范围是，10．已知函数
有两个零点，以下结论正确的是
A．
C．
（3）D．函数有
四个零点
四．解答题（共2小题）
11．在 ①
②
③
这三个条件任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
已知______，若函数
为奇函数，且函数的零点在区间
内，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
模块二【思维拓展】
12．已知函数
满足，当，时，若函数
至少有三个零点，则的取值范围为
A．
13．已知函数
恰有2个零点，则实数的取值范围是
A．，C．，二．多选题（共8小题）
14．如图，有一块半圆形广场，计划规划出一个等腰梯形的形状的活动场地，它的下底
是的直径为，上底的端点在圆周上，其他几个弓形区域将进行盆景装饰．为研究这个梯形周长的变化情况，提出以下两种方案：
方案一：设腰长，周长为
；方案二：设，周长为，则
A．当，在定义域内增大时，先增大后减小，先减小后增大
B．当，在定义域内增大时，先增大后减小，先增大后减小
C．当，在定义域内增大时，先减小后增大，先减小后增大
D．梯形的周长有最大值为
15．已知函数，以下结论正确的是
A．
在区间，上是增函数
B．
C．若函数
在上有6个零点，2，3，4，5，则
D．若方程
恰有3个实根，则
16．已知函数，若方程
有四个不同的实根，，满足，则下列说法正确的是
A．
17．已知
是定义在上的奇函数，且，当
时，关于函数，下列说法正确的是
A．
为偶函数
B．
在上单调递增
C．
在，上恰有三个零点
D．的最大值为2
三．填空题（共2小题）
18．定义在上的函数
满足，且，时，时，则函数的零点个数为 ．
19．已知函数，若
图象与
轴恰有两个交点，则实数的取值范围是 ．
模块三【核心素养】
20．已知函数，则
时，关于的方程的根的个数是
A．6 B．5 C．4 D．3
21．已知函数
满足，若函数的图象与的图象有4个交点，分别为，，，，则
A．2 B．4 C．8 D．
22．已知的图象关于直线
对称，则的值域为
A．，23．已知函数，若函数
有5个零点，则实数的范围为
A．，24．已知，．
（1）记，当，时，求
在，的值域；
（2）当
时，讨论方程的解的个数．
第六讲 函数的综合复习
模块一、【基础巩固】
一．选择题（共6小题）
1．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时
（单位：小时）大致服从的关系为，为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为
A．16小时 B．11小时 C．9小时 D．8小时
2．已知函数，若函数图象与
轴有且仅有一个交点，则实数的取值范围是
A．
3．已知，函数，若关于的方程
恰有2个互异的实数解，则的取值范围为
A．
4．若函数
有唯一零点，则
A．
5．已知函数，则的零点个数为
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知，符号
表示不超过的最大整数，若函数
有且仅有3个零点，则实数的取值范围是
A．，C．，模块二【思维拓展】
二．多选题（共2小题）
7．已知关于的一元二次方程
有两个实根，则下列结论正确的有
A．
或
B．
C．
D．
8．定义：
表示函数
在上的最大值．已知奇函数
满足，且当，时，正数
满足，则
A．
C．的取值范围为，三．填空题（共2小题）
9．若分段函数，将函数
（a），的最大值记作，那么当
时，的取值范围是 ．
10．已知，若函数
为奇函数，则的最小值为 ．
模块三【核心素养】
四．解答题（共4小题）
11．某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款智能手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本200万元，每生产
（千部）手机，需另投入成本
万元，且，由市场调研知，每部手机售价5000元，且全年内生产的手机若不超过100（千部）则当年能全部销售完．
（1）求出2021年的利润
（万元）关于年产量
（千部）的函数关系式（利润
销售额
成本）；
（2）2021年年产量
（千部）为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
12．设，已知函数，（1）
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最小值；
（Ⅲ）若方程
在区间
上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
13．已知函数，在区间，上有最大值4，有最小值1，设
．
（1）求，的值；
（2）不等式
在时恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程
有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
14．已知函数，．
（1）
恒成立，求实数的取值范围；
（2）当
时，求不等式的解集；
（3）若存在使关于的方程
有四个不同的实根，求实数的取值范围．
第七讲 三角函数图像
模块一【基础巩固】
一．选择题
1．关于函数，下列观点正确的是
A．的图象关于直线
对称
B．的图象关于直线
对称
C．的图象关于直线
对称
D．的图象关于直线
对称
2．设函数，记的最小正周期为，则
A．
3．下列关于函数的说法正确的是
A．在区间
上单调递增
B．最小正周期是
C．图象关于点
成中心对称
D．图象关于直线
成轴对称
4．已知函数，那么下列说法正确的是
A．函数
在，上是增函数，且最小正周期为
B．函数
在，上是减函数，且最小正周期为
C．函数
在，上是增函数，且最小正周期为
D．函数
在，上是减函数，且最小正周期为
二．多选题
5．已知函数，则下列结论正确的是
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线
对称
C．
在单调递增
D．的最小值为
6．已知函数，的部分图象与
轴交于点，与
轴的一个交点为，如图所示，则下列说法正确的是
A．
B．的最小正周期为6
C．的图象关于直线
对称
D．
在，单调递减
模块二【思维拓展】
三．填空题（共4小题）
7．方程
在，上的解的个数为 ．
8．函数，的部分图象如图所示．若函数
在区间，上的值域为，则的最小值是 ．
9．函数的单调递增区间为 ．
10．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子的半径为，它以的角速度逆时针旋转．轮子外边沿有一点，点
到船底的距离是
（单位：，轮子旋转时间为
（单位：
．当
时，点
在轮子的最高点处．
①当点
第一次入水时，；
②当
时，函数的瞬时变化率取得最大值，则的最小值是 ．
四．解答题（共2小题）
11．某同学用“五点法”画函数，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
0 | |||||
0 | 0 |
（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数的解析式；
（2）将
图象上所有点向左平行移动
个单位长度，得到的图象．若
图象的一个对称中心为，求的最小值．
12．已知函数
．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象上的各点________；得到函数的图象，当
时，方程
有解，求实数的取值范围．
在①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，按①给分
①向左平移
个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；
②纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移
个单位．
模块三【核心素养】
一．选择题
13．已知函数，则下列结论不正确的有
A．函数的图象关于点，对称
B．函数的图象左移
个单位可得函数的图象
C．函数的图象与函数的图象关于
轴对称
D．若实数
使得方程
在，上恰好有三个实数解，，则一定有
14．已知函数，当
时，，则下列结论正确的是
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象的一个对称中心为，C．函数的图象的一条对称轴方程为
D．函数的图象可以由函数的图象向右平移
个单位长度得到
15．已知，则
A．的值域为，B．
在上单调
C．
为的周期
D．
为
图象的对称中心
16．下列函数中，以
为最小正周期，且在区间
上是增函数的是
A．
17．函数的部分图象如图所示，给出以下结论，则其中正确的为
①的最小正周期为2；②
图象的一条对称轴为直线；
③
在上是减函数；④的最大值为
．
A．①④ B．②③ C．①③ D．③④
18．已知函数，若函数
在区间
上有且只有两个零点，则的取值范围为
A．
二．多选题
19．已知函数，下列关于该函数结论正确的是
A．的一个周期是
B．的图象关于直线
对称
C．的最大值为2
D．
是
上的增函数
20．已知函数，则
A．
在上单调递增
B．
是周期函数，且周期为
C．
有对称轴
D．函数
在上有且仅有一个零点
第八讲 三角恒等变换
模块一【基础巩固】
一．选择题（共9小题）
1．已知，则
A．
2．已知，则
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知，则
A．2 B．0 C．
4．已知
且，则
A．
5．已知，则
等于
A．
6．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为
A．
7．（1）已知，求的值．
（2）求的值．
模块二【思维拓展】
8．已知，则
A．
9．图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图，其中，则
A．
10．
A．1 B．
二．多选题（共4小题）
11．下列各式中，值为的是
A．
C．
12．给出下列四个关系式，其中不正确的是
A．
B．
C．
D．
13．下列选项中，值为的是
A．
C．
14．下列四个等式其中正确的是
A．
B．
C．
D．
模块三【核心素养】
三．填空题
15．已知，则
．
16．已知，则；
．
17．若，，则
．
18．已知，且，则
．
19．公元前2世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一，他因天文观测的需要编制了有关三角比率的表格．后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质上使用了公式
．如图是希帕科斯推导此公式时使用的几何图形，已知点
在以线段
为直径的圆
上，为弧的中点，点
在线段
上且，点
为的中点．设，．给出下列四个结论：
②
；③
；④
．
其中，正确结论的序号是 ．
20．已知，则的值是 ．
21．阅读下面材料：
（1）证明：；
（2）若函数，求的值域．
第九讲 数学建模核心素养
一．选择题（共6小题）
1．在图中，点
为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移
（单位：
和时间
（单位：
之间的函数关系式为
A．
C．
2．如图为一直径为的水轮，水轮圆心
距水面，已知水轮每分钟转2圈，水轮上的点
到水面的距离
与时间
满足关系式，表示
在水面下），则有
A．，3．某单位为节约成本，进行了技术更新，可以把细颗粒物进行处理．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本
（元
与月处理量
（吨
之间的函数关系可近似地表示为，则每吨细颗粒物的平均处理成本最低为
A．100元 B．200元 C．300元 D．400元
4．《九章算术）是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，间勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形，勾（短直角边）
长5步，股（长直角边）
长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形，分别在边，上）边长为多少？在如图所示中，在求得正方形的边长后，可进一步求得的值为
A．
5．牛顿冷却定律描述一个物体在常温下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间
后的温度
将满足，其中
是环境温度，称为半衰期．现有一杯的热茶，放置在的房间中，如果热茶降温到，需要10分钟，则欲降温到，大约需要多少分钟？，A．12 B．14 C．16 D．18
6．【高一重点高中期末调研考试试题】已知函数，若，其中，则的最小值为
A．
二．多选题（共2小题）
7．如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴
点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有
A．经过3分钟，点
首次到达最低点
B．第4分钟和第8分钟点
距离地面一样高
C．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点
距离地面的高度一直在降低
D．摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米
8．某学习小组在研究函数的性质时，得出了如下的结论，其中正确的是
A．函数的图象关于
轴对称
B．函数的图象关于点
中心对称
C．函数
在上是增函数
D．函数
在，上有最大值
三．解答题（共4小题）
9．如图为一个观览车示意图，该观览车半径为，圆上最低点与地面距离为，60秒转动一圈，图中
与地面垂直，以
为始边，逆时针转动
角到，设
点与地面距离为
．
（1）在如图所示直角坐标系中，求
与
间关系的函数解析式；
（2）设从
开始转动，经过
秒到达，求
与
间关系的函数解析式；
（3）填写下列表格：
0 | |||||||
10．如图，已知等腰三角形
中，米，米，点
从
点沿直线
运动到
点即停止，设点的运动速度是
米
秒，运动时间为
秒．过
作的垂线，记直线左侧部分的多边形为，的面积为
．
（1）求的表达式；
（2）记的面积在秒内的平均变化速率为，求的最大值．
11．宜城市流水镇是全国闻名的西瓜基地，流水西瓜含糖量高，口感好，多次入选全国农博会并获金奖，畅销全国12省百余个大中城市．实践证明西瓜的产量和品质与施肥关系极大，现研究发现该镇礼品瓜“金皇后”的每亩产量
（单位：百斤）与施用肥料
（单位：百斤）满足如下关系：，肥料成本投入为
（单位：百元），其它成本投入为
（单位：百元）．已知“金皇后”的市场批发价为2元
斤，且销路畅通供不应求，记每亩“金皇后”的利润为
（单位：百元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润是多少元？（参考数据：
．
12．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量
（万件）与广告费
（万元）之间的函数关系为
．已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完．若每件产品的销售定价为：“平均每件生产成本的”与“年平均每件所占广告费的”之和．
（1）试将年利润
（万元）表示为年广告费
（万元）的函数．
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
第十讲 向量的概念与运算
一．选择题（共5小题）
1．下列说法中正确的是
A．平行向量不一定是共线向量
B．单位向量都相等
C．若，满足
且
与
同向，则
D．对于任意向量，必有
2.在中，点，分别为边，的中点，则如图所示的向量中，相等向量有
A．一组 B．二组 C．三组 D．四组
3．若
为的边
上一点，且，则
A．
4．已知，点
为边
上一点，且满足，则向量
A．
5．【核心素养】向量，在正方形网格中的位置如图所示．若向量
与
共线，则实数
A．
二．多选题（共3小题）
6．下列各式中结果为零向量的是
A．
C．
7．已知向量，是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使，共线的是
A．
且
B．存在相异实数，使
C．当
时，D．已知梯形，其中，8．设
为非零向量，下列有关向量的描述正确的是
A．
三．解答题（共2小题）
9．设
是两个不共线的向量，已知
．
（1）求证：，三点共线；
（2）若以，且，求实数的值．
10．已知
中，点
是点
关于点的对称点，点
是线段的一个靠近的三等分点，设
．
（1）用向量
与
表示向量；
（2）若，求证：、、三点共线．
第十一讲 向量的基本定理及坐标表示
一．选择题（共7小题）
1．已知点，向量，若，则的值为
A．6 B．7 C．8 D．9
2．在中，是
上一点，若，则实数的值为
A．
3．在中，在线段
上，且，均为非零实数，若，三点共线，则
A．1 B．2 C．3 D．4
4．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形
中，满足“勾3股4弦5”，且，为
上一点，．若，则的值为
A．
5．如图，在梯形
中，，点
在线段
上，且，则
A． B．
B．C． D．
6．在平行四边形
中，点，分别满足，．若，则实数的值为
A．
7．如图是由等边
和等边
构成的六角星，图中，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为，若，则的值为
A．
二．多选题（共5小题）
8．已知向量，，其中，均为正数，且，下列说法正确的是
A．
与的夹角为钝角 B．向量
在方向上的投影为
C．
9．四边形
中，，，则下列表示正确的是
A．
C．
10．已知向量，则下列结论正确的是
A．
C．
与的夹角为
11．如图，四边形
为直角梯形，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是
A． B．
B．C． D．
12．如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点
且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点
在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是
A．
三．填空题（共4小题）
13．在中，已知
是的外心，若，则
．
14．如图，在中，点
是的中点，点
是靠近点
将
分成的一个分点，和
交于点，设，．
（1）用，表示向量；
（2）若，则
．
15．如图，在中，．若，则的值为，是
上的一点，若，则的值为 ．
16．在中，角
为，角的平分线
交
于点，已知，且，则
在方向上的投影是 ．
四．解答题（共4小题）
17．如图，在平面直角坐标系中，，．
（1）求点，的坐标；
（2）求证：四边形
为等腰梯形．
18．如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且，与的夹角为
．若，（1）求的值；
（2）若函数
在，上的最大值为2，求的值．
19．如图，在中，，是边
上一点，且
（1）设，求实数，的值；
（2）若点
满足
与
共线，求的值．
20．如图，为的中线的中点，过点的直线分别交，两边于点，设，请求出、的关系式，并记
（1）求函数的表达式；
（2）设的面积为，的面积为，且，求实数的取值范围．
（参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．
第十二讲 向量的应用
一．选择题（共6小题）
1.【核心素养】如图，是单位圆的直径，点，是半圆弧
上的两个三等分点，则
A．1 B．
2．已知向量，向量
在方向上的投影为，若，则实数的值为
A．
3．如图所示的中，，，则
A．
4．如图，在中，设，的中点为，的中点为，的中点为，则
等于
A．
5．已知
是边长为3的正三角形，点
是的中点，点
在边上，且，则
A．
6．已知
是边长为2的正六边形
内的一点，则的取值范围是
A．
二．多选题（共2小题）
7．如图，平行四边形
中，为的中点，与
交于，则下列叙述中，一定正确的是
A．
在方向上的投影为0 B．
C．
8．已知，，如下四个结论正确的是
A．
B．四边形
为平行四边形
C．
与
夹角的余弦值为
D．
三．填空题（共6小题）
9．如图所示，在中，，是
上一点，且满足，则实数；
．
10．在矩形
中，，点
为的中点，点
在，若，则
．
11．如图，在平面直角坐标系
中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于
时，的坐标为 ．
12．如图，在四边形
中，，且，则实数的值为，若，是线段
上的动点，且，则的最小值为 ．
13．如图，在中，是的中点，在边
上，与
交于点
．若，则的值是 ．
14．如图，在中，是的中点，是
上的两个三等分点，，则的值是 ．
四．解答题（共2小题）
15．已知，三点不共线，且，．
（1）若，求证：，三点共线；
（2）若，三点共线，求证：
．
16．已知
内接于，，的半径为
．
（1）若，试求的大小；
（2）若
为动点，，试求的最大值．
