第1篇：圆初中数学教案
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：①点和圆的三种位置关系，圆的有关概念，因为它们是研究圆的基础；②五种常见的点的轨迹，一是对几何图形的深刻理解，二为今后立体几何、解析几何的学习作重要的准备.难点：① 圆的集合定义，学生不容易理解为什么必须满足两个条件，内容本身属于难点；②点的轨迹，由于学生形象思维较强，抽象思维弱，而这部分知识比较抽象和难懂.2、教法建议
本节内容需要4课时
第一课时：圆的定义和点和圆的位置关系
（1）让学生自己画圆，自己给圆下定义，进行交流，归纳、概括，调动学生积极主动的参与教学活动；对于高层次的学生可以直接通过点的集合来研究，给圆下定义（参看教案圆
（一））；
（2）点和圆的位置关系，让学生自己观察、分类、探究，在“数形”的过程中，学习新知识.第二课时：圆的有关概念
（1）对（a）层学生放开自学，对（b）层学生在老师引导下自学，要提高学生的学习能力，特别是概念较多而没有很多发挥的内容，老师没必要去讲；
（2）课堂活动要抓住：由“数”想“形”，由“形”思“数”，的主线.第三、四课时：点的轨迹
条件较好的学校可以利用电脑动画来加深和帮助学生对点的轨迹的理解，一般学校可让学生动手画图，使学生在动手、动脑、观察、思考、理解的过程中，逐步从形象思维较强向抽象思维过度.但我的观点是不管怎样组织教学，都要遵循学生是学习的主体这一原则.第一课时：圆
（一）
教学目标：
1、理解圆的描述性定义，了解用集合的观点对圆的定义；
2、理解点和圆的位置关系和确定圆的条件；
3、培养学生通过动手实践发现问题的能力；
4、渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法.
教学重点：点和圆的关系
教学难点：以点的集合定义圆所具备的两个条件
教学方法：自主探讨式
教学过程设计(总框架)：
一、创设情境，开展学习活动
1、让学生画圆、描述、交流，得出圆的第一定义：
定义1：在一个平面内，线段oa绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点a随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点o叫做圆心，线段oa叫做半径.记作⊙o，读作“圆o”.2、让学生观察、思考、交流，并在老师的指导下，得出圆的第二定义.
从旧知识中发现新问题
观察：
共性：这些点到o点的距离相等
想一想：在平面内还有到o点的距离相等的点吗？它们构成什么图形？
（1）圆上各点到定点（圆心o）的距离都等于定长（半径的长r）；
（2）到定点距离等于定长的点都在圆上.定义2：圆是到定点距离等于定长的点的集合.3、点和圆的位置关系
问题三：点和圆的位置关系怎样？（学生自主完成得出结论）
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
点在圆上d=r；
点在圆内d
点在圆外d&r.“数”“形”
二、例题分析，变式练习
练习： 已知⊙o的半径为5cm，a为线段op的中点，当op=6cm时，点a在⊙o________；当op=10cm时，点a在⊙o________；当op=18cm时，点a在⊙o___________.例1 求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.已知（略）
求证（略）
分析：四边形abcd是矩形
a=oc，ob=od；ac=bd
oa=oc=ob=od
要证a、b、c、d 4个点在以o为圆心的圆上
证明：∵ 四边形abcd是矩形
∴ oa=oc，ob=od；ac=bd
∴ oa=oc=ob=od
∴ a、b、c、d 4个点在以o为圆心，oa为半径的圆上.符号“”的应用（要求学生了解）
证明：四边形abcd是矩形
oa=oc=ob=od
a、b、c、d 4个点在以o为圆心，oa为半径的圆上.小结：要证几个点在同一个圆上，可以证明这几个点与一个定点的距离相等.问题拓展研究：我们所研究过的基本图形中（平行四边形，菱形，正方形，等腰梯形）哪些图形的顶点在同一个圆上.（让学生探讨）
练习1 求证：菱形各边的中点在同一个圆上.（目的：培养学生的分析问题的能力和逻辑思维能力.a层自主完成）
练习2 设ab=3cm，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.(1)和点a的距离等于2cm的点的集合；
(2)和点b的距离等于2cm的点的集合；
(3)和点a，b的距离都等于2cm的点的集合；
(4)和点a，b的距离都小于2cm的点的集合；（a层自主完成）
三、课堂小结
问：这节课学习的主要内容是什么？在学习时应注意哪些问题？在学生回答的基础上，强调：
(1)主要学习了圆的两种不同的定义方法与圆的三种位置关系；
(2)在用点的集合定义圆时，必须注意应具备两个条件，二者缺一不可；
(3)注重对数学能力的培养
四、作业 82页
2、3、4.
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第2篇：初中人教版圆教案
初中人教版圆教案
【篇1：新人教版九年级数学上册圆教案24-1-1】
第一课时：圆（一）
教学目标：
1、理解圆的描述性定义，了解用集合的观点对圆的定义； 2、理解点和圆的位置关系和确定圆的条件； 3、培养学生通过动手实践发现问题的能力；
4、渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法.教学重点：点和圆的关系
教学难点：以点的集合定义圆所具备的两个条件
教学方法：自主探讨式
教学过程设计(总框架)：
一、创设情境，开展学习活动
1、让学生画圆、描述、交流，得出圆的第一定义：
定义1：在一个平面内，线段oa绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点a随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点o叫做圆心，线段oa叫做半径.记作⊙o，读作“圆o”.2、让学生观察、思考、交流，并在老师的指导下，得出圆的第二定义.从旧知识中发现新问题
观察：
共性：这些点到o点的距离相等
想一想：在平面内还有到o点的距离相等的点吗？它们构成什么图形？（1）圆上各点到定点（圆心o）的距离都等于定长（半径的长r）；（2）到定点距离等于定长的点都在圆上.定义2：圆是到定点距离等于定长的点的集合.3、点和圆的位置关系 问题三：点和圆的位置关系怎样？（学生自主完成得出结论）
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：“数”“形”
点在圆上d=r； 点在圆内dr； 点在圆外dr.二、例题分析，变式练习
练习： 已知⊙o的半径为5cm，a为线段op的中点，当op=6cm时，点a在⊙o________；当op=10cm时，点a在⊙o________；当op=18cm时，点a在⊙o___________.例1 求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.已知（略）求证（略）分析：四边形abcd是矩形
oa=oc，ob=od；ac=bdoa=oc=ob=od要证a、b、c、d 4个点在以o为圆心的圆上
证明：∵ 四边形abcd是矩形
∴ oa=oc，ob=od；ac=bd
∴ oa=oc=ob=od
∴ a、b、c、d 4个点在以o为圆心，oa为半径的圆上.符号“”的应用（要求学生了解）
证明：四边形abcd是矩形 oa=oc=ob=od
a、b、c、d 4个点在以o为圆心，oa为半径的圆上.小结：要证几个点在同一个圆上，可以证明这几个点与一个定点的距离相等.问题拓展研究：我们所研究过的基本图形中（平行四边形，菱形，正方形，等腰梯形）哪些图形的顶点在同一个圆上.（让学生探讨）
练习1 求证：菱形各边的中点在同一个圆上.（目的：培养学生的分析问题的能力和逻辑思维能力.a层自主完成）
练习2 设ab=3cm，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.(1)和点a的距离等于2cm的点的集合；(2)和点b的距离等于2cm的点的集合；
(3)和点a，b的距离都等于2cm的点的集合；
(4)和点a，b的距离都小于2cm的点的集合；（a层自主完成）
三、课堂小结
问：这节课学习的主要内容是什么？在学习时应注意哪些问题？在学生回答的基础上，强调：
(1)主要学习了圆的两种不同的定义方法与圆的三种位置关系；
(2)在用点的集合定义圆时，必须注意应具备两个条件，二者缺一不可；
(3)注重对数学能力的培养
作业:练习册.【篇2：新人教版数学第24章圆教案】
24．1 圆
第一课时
教学内容 1．圆的有关概念．
2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用． 教学目标
了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解． 重难点、关键 1．重点：垂径定理及其运用．
2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）1．举出生活中的圆三、四个．
2．你能讲出形成圆的方法有多少种？ 老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆． 二、探索新知
从以上圆的形成过程，我们可以得出：
在一个平面内，线段oa绕它固定的一个端点o旋转一周，?另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点o叫做圆心，线段oa叫做半径． 以点o为圆心的圆，记作“⊙o”，读作“圆o”． 学生四人一组讨论下面的两个问题：
问题1：图上各点到定点（圆心o）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 老师提问几名学生并点评总结．
（1）图上各点到定点（圆心o）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为o，半径为r的圆可以看成是所有到定点
o的距离等于定长r的点组成的图形．
同时，我们又把
①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段ac，ab； ②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段ab； ac”ac”或 ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以a、c为端点的弧记作，读作“圆弧 叫做劣弧．abc叫做优弧，?小于半圆的弧（如图所示）ac或bc“弧ac”．大于半圆的弧（如图所示
④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（学生活动）请同学们回答下面两个问题．
1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？?你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，?我能找到无数多条直径． 3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．
（学生活动）请同学按下面要求完成下题：
如图，ab是⊙o的一条弦，作直径cd，使cd⊥ab，垂足为m．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是cd．，即直径cd平分弦ab，并且平分 ac=bc（2）am=bm，ad=bdab及 adb．
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径cd、弦ab且cd⊥ab垂足为m，.ac=bc 求证：am=bm，ad=bd
分析：要证am=bm，只要证am、bm构成的两个三角形全等．因此，只要连结oa、?ob或ac、bc即可．
证明：如图，连结oa、ob，则oa=ob 在rt△oam和rt△obm中 ?oa=ob ?
?om=om
∴rt△oam≌rt△obm ∴am=bm
∴点a和点b关于cd对称 ∵⊙o关于直径cd对称
重合，重合． ac与bc ∴当圆沿着直线cd对折时，点a与点b重合，ad与bd，ac=bc ∴ ad=bd
（本题的证明作为课后练习），点o是cd 的圆心，?其中cd=600m，e 例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中cd 上一点，且oe⊥cd，垂足为f，ef=90m，求这段弯路的半径． 为cd
解：如图，连接oc
设弯路的半径为r，则of=（r-90）m ∵oe⊥cd 11 22
根据勾股定理，得：oc=cf+of
即r2=3002+（r-90）2 解得r=545 ∴这段弯路的半径为545m． 三、巩固练习
教材p86 练习p88 练习． 2 2 2
四、应用拓展
例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽ab=?60m，水面到拱顶距离cd=18m，当洪水泛滥时，水面宽mn=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 解：不需要采取紧急措施
设oa=r，在rt△aoc中，ac=30，cd=18 r2=302+（r-18）2 r2=900+r2-36r+32
4解得r=34（m）b
连接om，设de=x，在rt△moe中，me=16 342=162+（34-x）2
162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64（不合设）∴de=4
∴不需采取紧急措施．
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握： 1．圆的有关概念；
2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 3．垂径定理及其推论以及它们的应用． 六、布置作业 1．教材p94 复习巩固1、2、3． 2．车轮为什么是圆的呢？ 3．垂径定理推论的证明． 24.1 圆(第2课时)
教学内容 1．圆心角的概念．
2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，?相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，?那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 教学目标
了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．
通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键
1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．
a 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．
教学过程
一、复习引入
b（学生活动）请同学们完成下题．
如图所示，∠aob的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：
如图所示的⊙o中，分别作相等的圆心角∠aob?和∠a?′ob?′将圆心角∠aob绕圆心o旋转到∠a′ob′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ b
因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？?请同学们现在动手作一作．
（学生活动）老师点评：如图1，在⊙o和⊙o′中，?分别作相等的圆心角∠aob和∠a′o′b′得到如图2，滚动一个圆，使o与o′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得oa与o′a′重合． b a
(1)(2)你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现： ab= ab，ab=a/b/． 现在它的证明方法就转化为前面的说明了，?这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，?所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，?所对的弧也相等．（学生活动）请同学们现在给予说明一下． 请三位同学到黑板板书，老师点评．
例1．如图，在⊙o中，ab、cd是两条弦，oe⊥ab，of⊥cd，垂足分别为ef．（1）如果∠aob=∠cod，那么oe与of的大小有什么关系？为什么？的大小有什么关系？ab与cd的大小有什么关系？?为什么？∠ab与cd（2）如果oe=of，那么 aob与∠cod呢？ d
三、巩固练习
教材p89 练习1 教材p90 练习2． 四、应用拓展
例2．如图3和图4，mn是⊙o的直径，弦ab、cd?相交于mn?上的一点p，?∠apm=∠cpm．
（1）由以上条件，你认为ab和cd大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点p在⊙o的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 解：（1）ab=cd
理由：过o作oe、of分别垂直于ab、cd，垂足分别为e、f ∵∠apm=∠cpm ∴∠1=∠2 oe=of
连结od、ob且ob=od
∴rt△ofd≌rt△oeb ∴df=be
根据垂径定理可得：ab=cd
（2）作oe⊥ab，of⊥cd，垂足为e、f
∴rt△ope≌rt△opf
∴oe=of
连接oa、ob、oc、od 易证rt△obe≌rt△odf，rt△oae≌rt△ocf ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴ab=cd p
五、归纳总结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握： 1．圆心角概念． 2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，?那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用． 六、布置作业
1．教材p94-95 复习巩固4、5、6、7、8． 24.1 圆(第3课时)
教学内容
1．圆周角的概念．
2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半．
设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题． 重难点、关键
一、复习引入
【篇3：圆全章教案】
第二十四章 圆
一、教学目标
1.了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．
2.探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．
3.进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算． 4.熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．
二、教学重点
1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧及其运用． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦也相等及其运用． 3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用． 6．直线l和⊙o相交?dr；直线l和圆相切?d=r；直线l和⊙o相离?dr及其运用．
7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．
8．?经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．
9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．
10．两圆的位置关系：d与r1和r2之间的关系：外离?dr1+r2；外切?d=r1+r2；相交?│r2-r1│dr1+r2；内切?d=│r1-r2│；内含?d│r2-r1│．
其运用这两个公式进行计算．
13．圆锥的侧面积和全面积的计算． 三、教学难点
1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．
2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，并运用它解决一些实际问题．
3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用． 4．点与圆的位置关系的应用． 5．三点确定一个圆的探索及应用． 6．直线和圆的位置关系的判定及其应用． 7．切线的判定定理与性质定理的运用． 8．切线长定理的探索与运用． 9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．
11．n的圆心角所对的弧长l=180及s扇形＝360的公式的应用． 12．圆锥侧面展开图的理解．
四、教学关键
1.积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、性质、“三个”位置关系并推理证明等活动．
2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高． 3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，发展学生有条理的思考能力及语言表达能力．
4.积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．
5.在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．
6.通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力． 7.探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理 解算法的意义．
8.经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．
五、课时划分：
本章约需14课时，具体分配如下： 24．1 圆的有关性质 6 24．2 与圆有关的位置关系 4 24．3 正多边形和圆 2 24．4 弧长和扇形面积 2课时 课时 课时 课时 第一课时 圆
教学目标
1、在探索过程中认识圆，知道圆的概念。
2、知道弦，弧，半圆，优弧，劣弧，同心圆，等圆，等弧等与圆有关的概念。 3、培养学生积极交流，主动探究的学习习惯和学习兴趣。
教学重点
圆的有关概念
教学难点
圆的集合定义
教学设计
一、我回忆，我知道（复习回顾）（1）什么是旋转？（2）什么是中心对称？ 二、探索新知
自学课本79-80页内容，完成下列填空：
1.在一个平面内，线段oa绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点a所形成的图形是，可以记作 。
2、到定点o的距离为2cm的点的集合是以为圆心，为半径的圆。3、正方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上。
4、___________________叫做弦，________________的弦叫做直径．___________________
叫做圆弧，简称弧，_________________叫做半圆． 叫做等圆，叫做等弧。
三、我能行，相信我（随堂练习）1．如图所示，图中_______是直径，_______为弦，以e为端点的劣弧有_____，以a 为端点的优弧有_______． 2．如图，⊙o中，点a、o、d以及点b、o、c分别在一条直线上，ab图中弦的条数有（?）
a．2条 b．3条 c．4条 d．5条
3．在以下所给的命题中，正确的个数为（）． ①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④
半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的弧是等弧． a a．1b．2c．3 d．4 4.想一想，你同意下列说法吗？
（1）直径是圆中最长的弦．（）（2）弧是半圆，半圆是弧．（）
（3）连结圆上两点间的线叫做弦．（）（4）长度相等的弧叫做等弧 四、尝一尝成功的喜悦（达标检测60分）
1．确定一个圆的条件是_________和________．______?决定圆的位置，_______决定圆的大小．
2．同一平面内到已知点p的距离为3cm的所有点组成的图形是_________． 3．已知⊙o中最长的弦为16cm，则⊙o的半径为________cm．
4．过圆内一点可以作出圆的最长弦_____条．
5．以已知点o为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）a．1个 b．2个 c．3个 d．无数个 6、如图，ab为⊙o的直径，∠boc=60，则∠a=
7．下列语句中，不正确的个数是（）
①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；? ④经过圆内一定点可以作无数条直径． a．1个 b．2个 c． 3
个 d ．4个 2
8．等于圆周的弧叫做（）3 a．劣弧 b．半圆 c．优弧 d．圆
2、如图，cd是圆o的弦，ce=fd，半径oa、ob分别过e、f点，求证：△oef?是等腰三角形．
3、（选做）如图，ab、cd为⊙o的两条直径，求证：四边形acbd为矩形
板书设计
第3篇：圆的一般方程教案初中
圆的一般方程教案初中
【篇1：圆的一般方程教学设计】
数学基础模块 下册 8.3.2 圆的一般方程
【教学目标】
1．掌握圆的一般方程，能判断一个二元二次方程是否是圆的方程． 2．能根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径，会用待定系数法求圆的方程． 3．进一步培养学生数形结合的能力，综合应用知识解决问题的能力． 【教学重点】 圆的一般方程． 【教学难点】
二元二次方程与圆的一般方程的关系． 【教学方法】
这节课主要采用讲练结合的方法．首先由圆的标准方程展开得到圆的一般方程，然后讨论一个二元二次方程满足什么样的条件才能表示圆．最后通过例题，让学生初步感悟待定系数法和求曲线方程的一般步骤．
【教学过程】 1
第八章 直线和圆的方程 2
数学基础模块 下册 3
第八章 直线和圆的方程 4
【篇2：人教版圆的一般方程教案】
圆的一般方程
一、教学目标
1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．
2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题，解题过程中能分析和运用圆的几何性质．
二、教学重点与难点
圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点．
三、教学过程 （一）复习并引入新课
师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程． 生：(x－a)2+(y－b)2=r2．
师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？
生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式． 师：直线方程的一般式是ax+by+c=0吗？
生a：是的．
生b：缺少条件a2+b2≠0．
师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？
(书写课题：“圆的一般方程”的探求)（二）探索新知
师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？ 生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得
x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令d=－2a，e=－2b，f=a2+b2－r2，有：x2+y2+dx+ey+f=0(*)
师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x2+y2+dx+ey+f=0就是圆的方程？ 生a：不一定．还得考虑：x2+y2+dx+ey+f=0能否写成标准形式．
生b：也可以像直线方程一样，要有一定条件．
师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？
生：配方．
师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？
(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．)22
将（*）式配方得:? d??e?d2+e2-4f ?x+2??+ ?y+2??=4.(?)
1．当d2+e2－4f＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以
? de1 ?-2,-?
2??2d2+e2-4f为半径的圆；
2.当d2+e2-4f=0时，(*)式只有实数解x=-d 2,y=-e 2，即(*)式表示一个点? d ?-2，-e?
2??(有时也叫点圆)
3.当d2+e2－4f＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．
教师总结：当d2+e2－4f＞0时，方程x2+y2+dx+ey+f=0叫圆的一般方程．
师：圆的一般方程有什么特点？
生a：是关于x、y的二元二次方程．
师：刚才生a的说法对吗？
生b：不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程． 师：特殊在什么地方？
(通过争论与举反例后，由教师总结)
师：1．x2，y2系数相同，且不等于零． 2．没有xy这样的二次项．
(追问)：这两个条件是“方程ax2+by2+dx+ey+f=0表示圆”的什么条件？
生：必要条件．
师：还缺什么？
生：d2+e2－4f＞0．
练习：判断以下方程是否是圆的方程：
①x2+y2－2x+4y－4=0 ②2x2+2y2－12x+4y=0
③x2+2y2－6x+4y－1=0
④x2+y2－12x+6y+50=0
三、应用举例
师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+dx+ey+f=0在应用上各有什么优点？
生：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程．
师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径． de?1生：圆心?-?，r=d2+e2-4f.-，?22?
2生b：不用死记，配方即可．
师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择． 四．例题讲解
例1．求过三点o(0,0),m1(1,1),m2(4,2)的圆的方程；
分析：由于o(0,0),m1(1,1),m2(4,2)不在同一条直线上，因此经过o,m1,m2三点有唯一的圆．
解：法一：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，∵o,m1,m2三点都在圆上，∴o,m1,m2三点坐标都满足所设方程，把o(0,0),m1(1,1),m2(4,2)代入所设方程，?f=0?得：?d+e+f+2=0 ?4d+2e+f+20=0? ?d=-8?解之得：?e=6 ?f=0?
所以，所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0．
法二：也可以求om1和om2中垂线的交点即为圆心，圆心到o的距离就是半径也可以求的圆的方程：x2+y2-8x+6y=0．
法三：也可以设圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2将点的坐标代入后解方程组也可以解得(x-4)2+(y+3)2=2
5五、小结
六、作业：
1.求下列各圆的圆心坐标和半径：
①x2+y2－2x－5=0
②x2+y2+2x－4y－4=0
③x2+y2+2ax＝0
④x2+y2－2by－2b2＝0
七、教学反思
【篇3：优秀教案30-圆的一般方程】
4.1.2 圆的一般方程
教材分析
本节内容是必修第二册第四章第一节圆的方程的第二课时内容.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都起着承前启后的作用.课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要研究圆的一般方程的特征和待定系数法求法，以及对． 教学目标
重点: 圆的一般方程及待定系数法求圆的方程.难点：待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解.知识点：圆的一般方程及一般方程的特点，待定系数法.能力点：用代数方法研究几何问题的能力、数形结合思想的理解和待定系数法的运用.教育点：培养学生勇于思考、主动探究知识、合作交流意识、在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.拓展点：利用坐标法思想求解动点的轨迹方程.教具准备 多媒体课件、三角板、圆规
课堂模式 学案导学、自主探究
一、复习引入
【师生活动】教师提问，学生回答.问题1：怎么求过点o(0,0),m(1,1)n(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标？
生：待定系数法设圆的标准方程或求圆的圆心坐标和半径.圆的方程是(x-4)+(y+3)=25，圆心坐标是(4,-3)，半径是5.【设计意图】复习巩固加强记忆.问题2 ：将上面求得的方程展开，我们得到的是一个什么样的方程？圆的方程都是这样的吗？ 22
x+y-2ax-2by+a+b-r=0，生：展开得到的是x+y-8x+6y=0.圆的标准方程展开式是：
是二元二次方程.【设计意图】由具体到一般，引导学生找到分析问题的方法和结论.师：圆的方程总能表示成x+y+dx+ey+f=0这样的方程，那么方程x+y+dx+ey+f=0表示的是圆吗？我们这节课就来探究这个问题.【设计意图】使新知识建立在学生已有的知识之上，是旧知识的应用与延伸.2222222222
2二、探究新知
【师生活动】教师给出问题，引导学生分析，师生共同完成讨论.问题1：方程x+y-2x+4y+1=0，x+y-2x-4y+6=0，x+y-2x+4y+5=0分别表示什么图形？
【设计意图】利用具体问题讨论，降低探究问题的难度，循序渐进地引导学生完成探究，形成分类讨论、等价转化等数学思想.【师生活动】教师提示配方法，配方和展开由学生完成，教师最后展示结果，再讨论得到的方程.生：方程x+y-2x+4y+1=0 可化为：(x-1)+(y+2)=4，表示以(1,-2)为圆心，2为半径长 的圆；
方程x+y-2x-4y+6=0 可化为：(x-1)+(y-2)=-1，不表示圆；
方程x+y-2x+4y+5=0●可化为：(x-1)+(y+2)=0，不表示圆.师：满足方程、●的点的坐标是什么？
生：没有满足方程 的点，满足方程●的点的坐标是(1,-2).师：那么方程、●表示什么图形？
生：方程 不能表示任何图形，方程●表示点(1,-2).【设计说明】认识到方程x+y+dx+ey+f=0可能表示圆，但不一定，促使学生进一步探究在什么条件下，一定表示圆；采用从特殊到一般，由具体到抽象的认知方式.问题2：方程x+y+dx+ey+f=0在什么条件下表示圆？
【设计意图】突破教学难点.【设计说明】在问题1的讨论基础上，这个问题由学生分组讨论，独立完成，教师给予适当的指导.***2222222
d2e2d2+e2-4f生：把x+y+dx+ey+f=0配方得：(x+)+(y+)= 2242
2师：方程是否表示圆与什么有关？
【设计意图】使问题化难为易，突破难点，也让学生充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察、思考能力，之后得到圆的一般方程的完整表述.生：与d+e-4f的取值正负有关.22 de，)
为半径的圆.22
dede22⑵当d+e-4f=0时，方程只有实数解x=-,y=-，即只表示一个点(-,-).2222⑴当d+e-4f﹥0时，方程表示以(-22
⑶当d+e-4f﹤0时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形.22师：当d+e-4f﹥0时，方程x+y+dx+ey+f=0叫做圆的一般方程.2222
三、理解新知
思考1：圆的一般方程与一般的二元二次方程ax+bxy+cy+dx+ey+f=0有什么关系？
【设计意图】采用类比法加深在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想的认识.加深对圆的二次方程的结构认识.生：二元二次方程ax+bxy+cy+dx+ey+f=0中a,c相等，b=0时就是圆的一般方程.师：圆的一般方程的特点是：（1）x和y的系数相等，且等于1；（2）没有xy项.【设计意图】归纳知识，.强调的概念的本质，深化学生对圆的一般方程的理解.有利于学生理清知识脉络，让学生理解记忆圆的一般方程的代数特征.思考2：圆的一般方程与圆的标准方程各有什么特点？
【设计意图】通过让学生比较体会，强化学生的观察、思考能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.生：圆的标准方程中能体现圆的圆心坐标和半径长，圆的一般方程表明圆的方程是个特殊的二元二次方程.师：圆的标准方程的几何特征明显，圆的一般方程的代数特征明显.【设计意图】可以进一步加深学生用代数方法研究几何问题的认识 222222
四、运用新知
例1 判断下列二元一次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
（1）x+y-6x=0（2）x+y-2ax-2ay+3a=0
（3）x+y+2ax-b=0（4）4x+4y-4x+12y+11=0
【设计意图】进一步熟悉圆的一般方程的特征和配方法转化为标准方程和标准方程的几何特征.加深对所学知识的理解应用，使学生掌握基础知识.【设计说明】本题由学生自己完成.2222222222
（x-3）+y=9，表示圆心坐标是(3,0)，半径长是3的圆.解：（1）方程可以变为：
（x-a）+(y-3a)=a.a=0时，方程表示点(0,0)；a≠0时，方程表示圆心（2）方程可以变为：
坐标是(a,a)，半径长是|a|的圆.22222
（x+a）+y=a+b.a+b=0时，方程表示点(0,0)；a+b≠0时，方程表（3）方程可以变为：
示圆心坐标是(-a,0)，半径长是a+b的圆.（4）方程可以变为：x+y-x+3y+
巩固练习：课本p1241
例2 求过点o(0,0),m(1,1)n(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.【设计意图】进一步熟悉圆的一般方程，通过本题的练习，使学生掌握待定系数法求解圆的一般方程的步骤.【设计说明】让学生画出图象，结合引例的方法，讨论确定用待定系数法求圆的一般方程.学生板书，教***231=0，即：（x-）+(y+)2=-，方程不表示任何图形.4224 师订正.解：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0
∵a(0,0)，b(1,1)，c(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：
?f=0? ?d+e+f+2=0 即d=-8 e=6 f=o ?4d+2e+f+20=0?
∴所求圆的方程为x+y-8x+6y=0
∴圆心坐标为(4,-3)，r=
2222de、-=4、-=-3 2222师：还可以将x+y+dx+ey+f=0化为圆的标准方程：(x-4)+(y+3)=25，求圆的圆心坐
标和半径长.师：待定系数法求圆的方程一定设圆的一般方程吗？待定系数法求圆的方程的大致步骤是什么？
【设计意图】强调方法的本质，加深学生对方法的理解应用.生：⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程；⑵根据条件列出关于a,b,r或d,e,f的方程组； ⑶解
出a,b,r或d,e,f并将其代入其相关方程。
巩固练习：课本p1233
例3已知线段ab的端点b的坐标是(4,3)，端点a在圆上(x+1)+y=4运动，求线段ab的中点m的轨迹方程.22
【设计意图】掌握运用代入法求解曲线的轨迹方程的步骤，培养学生运用知识的能力.【设计说明】教师引导学生分析条件中的关系，教师板书，学生总结解题步骤.师：求线段ab的中点m的轨迹方程是指点m的坐标(x,y)满足的关系式.已知条件中知道哪个点的坐
标？
生：点a的坐标满足方程(x+1)+y=4.师：点a和点m有什么关系？
生：点m是线段ab的中点.师：可以利用中点坐标公式表示m,a,b坐标之间的关系，利用点a的坐标满足的方程表示点m的坐标的关系.解：设点m的坐标是(x,y)，点a的坐标是(x0,y0)，由于点b的坐标是(4,3)，且m是线段ab的中点，22
所以有：x=x0+4y+4，y=0，即：x0=2x-4，y0=2y-3 ① 22
2222因为点a在圆(x+1)+y=4上运动，所以点a的坐标满足方程(x+1)+y=4
即：(x0+1)+y0=4 ②
把①代入②，得:(2x-4+1)+(2y-3)=4 整理，得:(x-)2+(y-)2=1
所以，点m的轨迹是以(2222323233，)为圆心，半径长是1的圆.22
师：这个求点的轨迹的方法叫代入法，利用与所求点有关系的点的坐标所满足的方程求解轨迹方程.求点的轨迹的一般步骤是：⑴建立适当的坐标系，用有序数对(x,y)表示曲线上任意一点m的坐标； ⑵写出适合条件的点m的集合；⑶列出方程f(x,y)=0；⑷化方程f(x,y)=0为最简形式.【设计意图】总结归纳，把方法系统化，形成能力.巩固练习：课本p12
43五、课堂小结
师：本节课学习了圆的一般方程,讨论了的哪些问题，用到哪些思想方法？
生：学习了圆的一般方程x+y+dx+ey+f=0的代数特征.讨论了圆的一般方程和标准方程的互化，待定系数法求解圆的一般方程和代入法求解曲线的轨迹方程.【设计意图】启发引导学生进行归纳整理，培养学生宏观掌握知识的能力，有利于学生理清本节课的重难点，深化对圆的一般方程的理解，帮助学生从感性认识上升为理性认识，把知识转化为能力，形成数学方法和数学思维.2
2六、布置作业
1,5，8 1．必做作业：课本p144a，3 选作作业：课本p124b1
【设计意图】巩固基础知识，设置分层作业，满足每一位学生，增强学生学习数学的愿望和信心.2.课后练习自主学习丛书 4.1.2七、教后反思 本节课通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对圆的一般方程认识的再次深化，归纳总结用待定系数法解题的基本步骤，提炼分类讨论，化归转化，数形结合等数学思想.但是，对于点的轨迹方程的求解未能讲解透彻，使得学生有些一知半解，应该在直线的方程和圆的方程的教学中加强学生对坐标法的认识.
第4篇：初中数学《圆的切线》教案
初中数学《圆的切线》教案
教学内容 24.2圆的切线（1）
课型 新授课 课时 32 执教
教学目标 使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题
通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力
教学重点 切线的识别方法
教学难点 方法的理解及实际运用
教具准备 投影仪,胶片
教学过程 教师活动 学生活动
（一）复习情境导入
：
1、复习、回顾直线与圆的三 种位置关系．
2、请学生判断直线和圆的位置关系．
学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续提出 问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点？教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切 线的其它方法．(板书课题)抢答
学生总结判别方法
(二)
实践与探索1：圆的切线的判断方法
1、由上面 的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
2、当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离 与半径 之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当 时，直线与圆的位置关系是相切．以此作为识别切线的方法2数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 ．
3、实验：作⊙O的半径OA，过A作lOA可以发现：（1）直线 经过半径 的外端点 ；（2）直线 垂直于半径 ．这样我们就得到了从位 置上来判断直线是圆的切线的方法3位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 理解并识记圆的切线的几种方法，并比较应用。
通过实验探究圆的切线的位置判别方法，深入理解它的两个要义。
三、课堂练习
思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？
请学生回顾作图过程，切线 是如何作出来的?它满足哪些条件? 引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径．
请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行?（学生画出反例图）
（图1）（图2）图（3）
图(1)中直线 经过半径外端，但不与半径垂直； 图(2)中直线 与半径垂直，但不经过半径外端． 从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
最后引导学生分析，方法3实际上是从前一节所讲的“圆 心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式． 试验体会圆的位置判别方法。
理解位置判别方法的两个要素。
（四）应用与拓展 例
1、如图，已知直线AB经过⊙O上的点A，并且AB＝OA，OBA=45，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？
例
2、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，BAD＝B＝30，边BD交圆于点D．BD是⊙ O的切线吗？为什么？
分析：欲证BD是⊙O的切线，由于BD过圆上点D，若连结OD，则BD过半径OD的外端，因此只需证明BDOD，因OA＝OD，BAD＝B，易证BDOD．
教师板演，给出解答过程及格式．
课堂练习：课本练习1－4 先选择方法，弄清位置判别方法与数量判别方法的本质区别。
注意圆的切线的特征与识别的区别。
（四）小结与作业 识 别一条直线是圆的切线，有 三种方法：
(1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；
(3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线，说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果 已知直线过圆上某 一点，则作出过 这一点的半径，证明直线垂直于半径即可(如例2)．
各抒己见，谈收获。
（五）板书设计
识别一条直线是圆的切线，有三种方法： 例：
(1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆 的切线；
(3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线，说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线过圆上某一点，则作出过 这一点的半径，证明 直线垂直于半径
(六)教学后记
教学内容 24.2圆的切线（2）课型 新授课 课时 执教
教学目标 通过探究,使学生发现、掌握切线长定理，并初步长定理，并初步学会应用切线长定理解决问题，同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法，能用内心的性质解决问题。
教学重点 切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的性质。
教学难点 三角形的内心及其半径的确定。
教具准备 投影仪,胶片
教学过程 教师 活动 学生活动
（一）复习导入：
请同学们回顾一下，如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具有什么性质？（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径。）
你能说明以下这个问题？
如右图所示，PA是 的平分线，AB是⊙O的切线，切点E，那么AC是⊙O的切线吗？为什么？
回顾旧知,看谁说的全。
利用旧知，分析解决该问题。(二)
实践与探索 问题
1、从圆外一点可以作圆的几条切线？请同学们画一画。
2、请问：这一点 与切点的 两条线段的长度相等吗？为什么？
3、切线长的定义是什么？
通过以 上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论：
从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线
平分两条切线的夹角。在解决以上问题时，鼓励同学们用不同的观点、不同的知识来解决问题，它既可以用书上阐述的对称的观点解决，也可以用以前学习的其他知识来解决问题。
(三)拓展与应用 例:右图，PA、PB是，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为P，交PA、PB为E、F点，已知，（1）求 的周长；（2）求 的度数。
解：（1）连结PA、PB、EF是⊙O的切线
所以，所以 的周长（2）因为PA、PB、EF是⊙O的切线
所以，，所以
所以
画图分析探究，教学中应注重基本图形的教学，引导学生发现基本图形，应用基本图形解决问题。
（四）小结与作业 谈一下本节课的 收获 ? 各抒己见,看谁 说得最好
（五）板书设计
切线(2)
切线长相等 例:
切线长性质
点与圆心连 线平分两切线夹角
(六)教学后记
第5篇：圆和圆教案
课题：圆和圆的位置关系
山西省平定县娘子关中学冯向科
教学目标：
了解圆与圆的五种位置关系的定义； 掌握两圆的相切位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系，相切两圆的连心线的性质。
1．培养学生的分类和数形结合数学思想；培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力．
2．促使学生勤于思考、乐于探究的习惯、增强学习自信心。
教学重点：
两圆的相切位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系．
教学难点：
两圆相切时分类讨论 教具：圆规、圆片 教学步骤：
（一）复习、引出问题
1．复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?
（教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交．各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的2．引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?
（二）观察、分类，得出概念
1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义：
(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．(图(1))
(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(2))
(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．(图(3))
(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(4))
(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5))．两圆同心是两圆内含的一个特例．(图(6))
2、归纳：
(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点．
(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一
(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切)．
教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?
结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系．
（三）分析、研究
1、相切两圆的性质．
让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．
这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明
2、两圆位置关系的数量特征．
设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．（图形略）
两圆外切
两圆内切 d＝R+r； d＝R-r(R＞r);
说明：注重“数形结合”思想的教学．
（四）应用、练习
例1： 如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米。求：以P为圆心作⊙P与⊙O相切，圆⊙P的半径是多少?
解：（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则PA=PO-OA ∴PA=3cm．
（2）设⊙P与⊙O内切与点B，则 PB=PO+OB ∴PB=1 3cm． 综上所述，圆⊙P的半径是3cm或1 3cm。
练习
1、⊙O的半径为5厘米，OP=1厘米，以P为圆心作⊙P与⊙O相切，圆⊙P的半径是多少?
2、⊙O的半径为5厘米，⊙P的半径为3厘米 ，以P为圆心作⊙P与⊙O相切，PO是多少?
3、⊙O的半径为5厘米，⊙P的半径为3厘米 ，⊙P与⊙O外切，半径为7厘米的圆和两圆相切，这样的圆能做几个？半径为5厘米呢？半径为8厘米呢？
4、⊙O的半径为15厘米，⊙P的半径为20厘米 ，⊙P与⊙O相交与A、B两点，AB=24。（1）求PO的长？（2）求∠PAO的度数？（3）求四边形PAOB的面积？
（五）小结
这节课你学到了什么？是怎样学到的？
（六）作业
《圆和圆的位置关系》示范课教学反思
-------用数学眼光开生活
山西省平定县娘子关中学冯向科
我在教学能手示范课中讲授了《圆和圆的位置关系》一课。感受到学生在数学和生活的联系方面有欠缺，缺乏学一致用。下面谈谈在示范课后我的一些实践的心得体会。
在生活中挖掘数学，让数学服务于生活，让学生学习有用的数学，以人为本，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。这是数学新课程标准的宗旨，它通过加强过程性，体验性目标，以及对教材、教学、评价等方面的指导，引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究、获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流与合作的能力，并且采用多种评价方式，促进学生发展，体现着改革与创新精神，数学新课程标准为未来的数学教学指明了方向。
一 培养学生把生活经验和数学知识相联系的能力
数学来源于生活，生活中处处有数学。我们的日常生活就是学习数学的大课堂，是探索问题的广阔天地，把所学的知识运用到生活实践中，是数学学习的最终目的。很多数学规律、数学思想方法都可以在生活中找到它们的原型，在平时生活中，学生很难从现实中寻找数学题材，把要学的数学知识与学生的生活实际有机结合，如举出生活中两圆不同位置关系的实例，学生难以描述。
二、创设情景、贴近生活、激发兴趣
结合学生身边的实例导入新课，不但可提高学生的学习兴趣，激发求知的内驱力，而且可使所要学习的数学问题具体化，形象化。在新知的教学时，如果能结合学生的日常生活，创设学生熟悉与感兴趣的具体生活活动情况，就能引导学生通过联想、类比，沟通从具体的感性实践到抽象概括的道路，加深对新知的理解。因此在教学中如何使学生“领悟”出数学知识源于生活，又服务于生活，能用数学眼光观察生活实际，培养解决实际问题的能力，是每位数学教师重视的问题。教师选取贴近学生生活实际的题材，以唤起学生的学习兴趣，使学生能凭借生活经验，积极参与尝试探究。因此当学生掌握了某项数学知识后，可以有意识地创设一些把所学知识运用到生活实际的环境。
如在导入《直线和圆的位置关系》时，这样问学生：小朋友，你们看过日出
吗？太阳和地平线在开始时候是怎样的位置关系？后来怎么变化的呢？
三、引导实践、总结规律、寓教育乐
数学源于实践，又服务于实践。为此在数学教学中，我们要创设运用数学知识的条件给学生以实际活动的机会，让学生亲自参与实践，摸一摸，摆一摆，拼一拼，移一移，看一看，想一想，形成丰富的感性材料，再经过大脑加工，由表及里，由浅入深，去伪存真地辩证分析，教学效果事半功倍。如这节课通过让学生动手实践，圆和圆的位置关系、两圆相切是圆心距和两圆半径的关系等结论，学生很快发现其中的奥秘，总结出规律。如果教师不让学生动手实践，而是一味滔滔不绝地讲解分析，学生只能是“知其然而不知其所以然”，听得索然寡味。数学知识是抽象的，教学不得法，会挫伤学生的学习积极性，会扼杀学生的实践力，会抑制学生的聪明才智。
四、引导学生发现问题、提出问题、解决问题
新课程标准很重视在教学过程中，学生的主动参与，学生能独立思考并能一起合作探究，能提出有价值的问题，并能通过个人的或大家的智慧解决问题。老师教给学生的是一种能力而不是问题的答案。教学中教师的作用重在于“导”，具体应体现在启发、点拨、设疑和解惑上。能让学生先说的尽可能让学生说，能让学生操作的尽可能让学生操作，能让学生讨论的尽可能让学生讨论，力求为学生的主动学习创设情境、营造氛围。让学生有机会成为“问”的主体，成为“信息源”，那么，学生学习的积极性和主动性将会被大大激发。如做完练习
3、⊙O的半径为5厘米，⊙P的半径为3厘米 ，⊙P与⊙O外切，半径为7厘米的圆和两圆相切，这样的圆能做几个？半径为9厘米呢？半径为8厘米呢？后。有学生问⊙O的半径为a厘米，⊙P的半径为b厘米，⊙P与⊙O外切，半径＞（a+b）厘米的圆和⊙O、⊙P两圆相切，这样的圆能做几个？半径＜（a+b）厘米呢？半径为（a+b）厘米呢？
数学知识源于生活而最终服务于生活。在今后教学中，我还要经常从现实中寻找数学题材，把要学的数学知识与学生的生活实际有机结合，注意引导学生动手实践，亲身体验，理解、巩固、运用数学知识，解决数学问题。
第6篇：圆教案
圆知识点总结
一、本章知识点框架
圆心、半径基本元素：定义、弧、垂径定理对称、中心对称圆的认识对称性：旋转对称、轴 圆心角、弧、弦、弦心距与圆有关的角：圆心角、圆周角、弦切角
点与圆相交直线与圆相切—切线与切线长与圆有关的位置关系 相离圆与圆的位置关系积弧长和扇形、弓形的面圆中的有关计算 圆锥与圆锥的侧面展开图
二、本章重点 1.圆的定义
（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆。
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。2.判定一个点P是否在圆O上，设圆O的半径为R，OP=d，则有
dr点P在圆O外； dr点P在圆O上； dr点P在圆O内。
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3.与圆有关的角
（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
（2）圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧的圆心角的一半；（图a）
②同弧或等弧所对圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。（图b）
③90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角；（图c）④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； ⑤圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
图a 图b 图c 图d（3）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角。（图d）推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半。4.圆的性质：
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（1）旋转不变形：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；
圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等。
（2）轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴。（3）垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；（图1）②平分弦（不是直径）的直径垂直与弦，并且平分弦所对的两条弧； ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧；
④平分一条弧所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分这条弦； ⑤平行弦夹的弧相等。（图2）
图1 图2 5.三角形的内心、外心、垂心、重心
（1）三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示。
（2）三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示。
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（3）三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示。（4）垂心：是三角形三边高线的交点。6.切线的判定、性质（1）切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线。②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线。（2）切线的性质：（图3）①圆的切线垂直与过切点的半径； ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点； ③经过切点作切线的垂线经过圆心。
（3）切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长。
（4）切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（图4）
图3 图4 7.圆内接四边形和外切四边形
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（1）四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。
（2）各边都和圆相切的四边形叫做圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等。圆内正多边形的计算：（如下图所示）①正三角形
在圆O中，ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行，OD:BD:OB1:3:2 ②正四边形
同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2 ③正六边形
同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA1:3:2
8.直线和圆的位置关系：
设圆O半径为R，点O到直线I的距离为d，（1）直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R；(图5)
（2）直线和圆O有唯一公共点直线I和圆O相切d=R；（图6）（3）直线I和圆O有两个公共点直线I和圆O相交d
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图5 图6 图7 9.圆与圆的位置关系：
设圆O
1、圆O2的半径为R、r（R>r），圆心距O1O2d
（1）圆O1和圆O2没有公共点，且每一个圆上的所以点在另一个圆的外部圆O1、圆O2外离d>R+r。（外离图8）
（2）圆O1和圆O2没有公共点，且圆O2的每一个点都在圆O1内部圆O
1、圆O2内含d
（3）圆O1和圆O2有唯一公共点，除这个点外，每一圆上的点都在另一个圆外部圆O
1、圆O2外切d=R+r。（外切图10）
（4）圆O1和圆O2有唯一公共点，除这个点外，圆O2的每个点都在圆O1内部圆O
1、圆O2内切d=R-r。（内切图11）
（5）圆O1和圆O2有两个公共点圆O
1、圆O2相交R-r
图8
图9
图10 西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌
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图11
图12 10.两圆的性质：
（1）两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线；
（2）相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切心。11.圆中有关计算: 2圆的面积公式：SR，周长C2R.圆心角为n、半径为R的弧长l圆心角为nnR.180nR21lR.、半径为R，弧长为l的扇形的面积S3602弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算。
圆柱的侧面图是一个矩形，地面半径为R，母线长为1的圆柱的体积为nR2l，侧面积为2Rl，全面积为2Rl2R2。
圆锥的侧面积展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积
222为Rl，全面积为RlR2，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有Rhl.例1.如图所示，已知AB为圆O直径，C为弧AB上一点，CDAB于点D，OCD的平分线CP交圆O与点P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？
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分析:要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在弧AB上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律。解: 连接OP，2P1P OC=OP21OP//CDPAPB CDABPD点为AB中点。
例2.下列命题正确的是（B）A.相等的圆周角所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.三点确定一个圆 D.平分弦的直径垂直于弦
例3.四边形ABCD内接与圆O，A:B:C1:2:3，求D.分析：园内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等。解：设Ax，B2x，C3x, 则DACB2x.x2x3x2x360，x45
D90
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练习：四边形ABCD外切于圆O，周长为20，且AB:BC:CD1:2:3,求AD 的长。
例4.为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，用如图所示的方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是______cm.分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OPPA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，在用三角函数知识求解。解:tanPAOOPOPPAtan605353cm PA例5.已知圆O1与圆O2相交于A、B两点，圆O1的半径是10，圆O2的半径是17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距。
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图1 图2 解：分两种情况讨论：
（1）若O
1、O2位于AB的两侧如图1所示，设O1O2与AB交于C，连接O1A、O2A，则O1O2垂直平分AB，ACAB.又AB16AC8
在RtO1CA中，O1CO1A2AC26.在RtO2CA中，O2CO2A2AC215.故O1O2=O1C+O2C=21（2）若O
1、O2位于AB的同侧如图2所示，设O1O2的延长线与AB交于C，连接O1A、O2A，CO2垂直平分AB，AC1AB.212又AB16AC8
在RtO1CA中，O1CO1A2AC26.在RtO2CA中，O2CO2A2AC215.故O1O2=O2C-O1C=9
三、相关定理： 1.相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）如下图所示
即：弦AB、CD交于点P，PAPBPCPA（相交弦定理）
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
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即：CD垂直AB于点E，CE2DE2EAEB
例6.已知P为圆O内一点，OP=3cm，圆O半径为6cm，过P任作一弦AB，设AP=x，BP=y，则y关于x的函数关系式为______。
623227解：由相交弦定理得y，即y，其中3x9.xx2.切割线定理
推论：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：若PA是切线，PB是割线，则PA2PCPB
例7.已知PT切圆O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm,求PB长。
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解：设TD=x,BP=y,由相交弦定理得：ADDBCDTD 即34(8x)xx16，x22（舍）
由切割线定理，PT2APBP 由勾股定理得，PD2PT2TD2
PD2APBPTD2(y4)262y(y7)
y20cm
四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线
（1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等；
（2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明。
（3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算。
（4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角；
（5）作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角；（6）遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角；（7）遇到切线，作过切点的半径，构造直角；
（8）欲证直线为圆的切线时，分两种情况：①若知道直线和圆有公共点时，常连接公共点和圆心证明直线垂直；②不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径
（9）遇到三角形的外心常连接外心和三角形的各顶点；
（10）遇到三角形的内心，常作：①内心到三边的垂线；②连接内心和三角形的顶点；
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（11）遇相交两圆，常作:①公共弦；②连心线；（12）遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线；
（13）求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边。
2.圆中较特殊的辅助线
① 过圆外一点或圆上一点作圆的切线； ②将割线、相交弦补充完整； ③作辅助圆。
例8.如图所示，AB是圆O的直径，弦CDAB,垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为（A）
分析：连接OC，由AB是圆O的直径，弦CDAB知CD=DE，设AE=x，则在RtCEO中，OC2OE2CE2, 即52(5x)242，则x12，x28（舍去）
例8图 例9图
例9.如图所示，CA为圆O的切线，切点为A，点B在圆O上，如果AOB等于（C）
A.35 B.90 C.110 D.120
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分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道
AOB2BAC255110 故选C
例10.如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于（B）分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即24540(cm2)
例11.如图所示，在半径为4的圆O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交圆O于E，且EM>MC，连接OE、DE，DE15，求：EM的长。
解：由DC是圆O的直径，知DEEC，于是ECDC2DE27,设EM=x,则AMMBx(7x)，即x27x120，所以x13,x24，而EM>MC，即EM=4.学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌
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第7篇：圆教案
认识圆
教学目标：
1、知识与能力目标：
结合生活实际，通过观察、操作等活动认识圆，理解圆心、半径、直径的意义，掌握圆的特征，理解同一个圆里（或等圆）半径与直径的关系。
2、过程与方法目标：
结合具体的情境，体验数学与生活密切联系，能用圆的知识来解释生活中的简单现象。
3、情感态度与价值观目标：
通过观察、操作、想象等活动，培养学生自主探究的意识，进一步发展学生的空间观念。
教学重点：
在探索中发现圆的特征。教学难点：
理解同一个圆里（或等圆）半径与直径的关系，能利用圆的特征解决生活实际问题。
一、回顾已学过的平面图形
1、出示正方形、长方形、三角形等学过的平面图形。说出它们的特点。
2、出示圆
观察并比较和刚才的平面图形有什么区别？ 由直线构成的平面图形。由曲线围成的平面图形
3、找生活中的圆
你在生活中哪些地方见过圆？说一说。
4、你知道车轮为什么要做成圆形的？
二、学习圆
1、找圆心
把圆对折几次，有什么发现。折痕相交于一点。（板书圆心：O）在圆里标出圆心。
2、认识直径
画出其中一条折痕，说一说。（经过圆心，两端都在圆上。）（板书直径：d）圆有多少条直径？
量出它的一条直径的长度，再量另一条，比较长度。同一个圆中，所有直径长度相等。
比较不同大小的圆。（直径-----大小）
3、认识半径
（半径：r）（半径-----大小）直径和半径的关系
解决车轮为什么要做成圆形。
三、画圆
我们学习了圆，怎样来画一个圆。
1、画圆心
确定圆的位置
2、定半径
确定圆的大小
3、画圆 旋转一周四、小结。
五、问题：怎么画一个大圆。
第8篇：圆——教案
圆的定义
目标：探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别
1、想想生活中的圆：摩天轮、呼啦圈、自行车、圆月、硬币、瓶盖、钟面、圆桌、钮扣、圆形饼干、铁饼
2、动手画圆：在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆．
3、第一定义：圆：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆；
圆心：固定的端点O叫作圆心；
半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径．
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆．
4、弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦； 直径：经过圆心的弦叫作直径；
弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；
弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．
优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图3中的ABC； 劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图3中的BC．
5、思考：车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定．
6、如何在操场上画一个半径是5 m的圆？
7、从树木的年轮，可以很清楚地看出树生长的年龄．如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23 cm，这棵红杉树平均每年半径增加多少？
垂直于弦的直径
目标：探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质； 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
1、动手活动：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？
沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
2、动手活动：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；
第二步，得到一条折痕CD；
第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足； 第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B垂直于弦的直径的性质：
（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
例１：AB所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径．
弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．
例２：已知AB，请你利用尺规作图的方法作出AB的中点，说出你的作法．
3、某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7．2米，桥的最高处点C离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由．
GCFMAHEDOB
连接AO、GO、CO，由于弧的最高点C是弧AB的中点，所以得到 OC⊥AB，OC⊥GF，根据勾股定理容易计算 OE=1．5米，OM=3．6米．
所以ME=2．1米，因此可以通过这座拱桥．
4、银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?
连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，1则AE=2AB = 30 cm．令⊙O的半径为R，则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．
在Rt△AEO中，OA=AE+OE，即R=30+(R-10)． 解得R =50 cm．
修理人员应准备内径为100 cm的管道．
222
弧、弦、圆心角
目标：（1）圆的旋转不变性；
（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理；
动手活动：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．
注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．
(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合． 在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．
ABAC，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC． 例
1、在⊙O中，AOBC
例
2、AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．
思考：定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
圆周角
目标：1．了解圆周角与圆心角的关系．
2．探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 3．能运用圆周角的性质解决问题．
问题1：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（AOB和ACB）有什么关系？
问题2：如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ADB和AEB）和同学乙的视角相同吗？
同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半． 问题3：半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？90°的圆周角所对的弦是什么? 例：如图，⊙O的直径 AB 为10 cm，弦 AC 为6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O于 D，求BC、AD、BD的长．
AD=BD
ACOBD
（一）圆的有关概念
1、圆（两种定义）、圆心、半径；
2、圆的确定条件：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一直线上的三个点确定一个圆。
3、弦、直径；
4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧；
5、等圆、等弧，同心圆；
6、圆心角、圆周角；
（二）圆的基本性质
1、圆的对称性
①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。*②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。
2、圆的弦、弧、直径的关系
①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
* [引申] 一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况）
3、弧、弦、圆心角的关系
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。
4、圆周角的性质
①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
