摘要
本文针对蓝牙耳机选购这一问题，在选择的三个蓝牙耳机品牌中，考虑各种蓝牙耳机的价格、功能、颜值等因素，做出购买策略。通过阅读文献查找资料分析相关数据，综合运用层次分析法等方法来建立模型，对其定性问题合理性进行了定量的分析和评价，使得问题得到很好的解决。
问题一：就选择的三个品牌的蓝牙耳机：Air Pods、小米降噪耳机Pro、OPPO Enco Free，通过阅读文献分析处理相关数据，选择了具有代表性的几款蓝牙耳机，并统计分析得到相关数据。
问题二：就影响选购蓝牙耳机的相关价格、功能、颜值为准则，针对不同消费者的选购情况，查找资料分析相关数据，并用均值法得到了一组具有代表性的数据
第三，基于以上两个问题，本文使用层次分析方法，建立了层次结构模型。将选购蓝牙耳机这一问题分为3个层次，以各种蓝牙耳机的价格、功能、颜值为标准作为准则层，以综合分析选择的三个品牌的蓝牙耳机为标准作为方案层，采用九级标度法，下层对上层构造成对比较阵，并只用MATLAB软件求解出对应的特征向量和特征值，应用归一化思想，进一步求出各因素的权重，根据权重得到各因素的优劣次序。
第四，在检验模型过程中，本文对以上模型作了一致性检验以其确保模型的精度。
第五，组合权重，得出各因素对购买蓝牙耳机的影响程度。
最后，对该问题作了更深层地讨论，得出层次结构模型，对建立的模型优缺点进行评价，并提出了一些可行性建议。
关键词：层次分析法 层次结构模型 九级标度法 归一化思想 一致性检验
目录
1.问题重述 |
2.问题分析 |
3.模型假设 |
4.符号说明 |
5.模型的建立 |
6.模型求解 |
6.1构造成对比较阵 |
6.2计算特征值和特征向量 |
6.3归一化特征向量 |
6.4一致性检验 |
6.5评价优劣次序 |
6.5.1 计算权向量 |
6.5.2组合权向量 |
6.5.3结果分析 |
7.模型的评价 |
7.1综述 |
7.2模型的优点分析 |
7.3模型的缺点分析 |
8.模型推广 |
9.参考文献 |
10.附录 |
随着社会经济的发展，人民生活水平的提高，对于蓝牙耳机来说，现在蓝牙传输的速率的提升使音质可以基本达到普通有线耳机的水平。对于普通大众来说这个音质已经是非常可以的音质了。
那么问题来了，我们在多种品牌的蓝牙耳机中如何做出选择呢？
问题一：首先要清楚，自己买这个蓝牙耳机的用途是什么呢？
问题二：明确选购这个蓝牙耳机的预算是多少呢？不同价位的蓝牙耳机是不同的。
问题三：然后看蓝牙耳机的延迟时间，音质如何？延迟时间，音质不同，性能当然也存在较大差距。
问题四：自己对那个品牌的蓝牙耳机情有独钟？在外观、售后方面的要求。
针对购买蓝牙耳机这一问题，使用层次分析法，在蓝牙耳机价格、功能、颜值等多个因素中做出决策。
基于问题一：若是办公或追剧，对耳机的要求不高，音质好点就好；若是游戏迷，对延迟时间、连接的稳定程度要求高些，需选好一点的耳机，不至于游戏中扫兴。
基于问题二：根据自己的经济能力量力而行。
基于问题三：配置方面，延迟时间、连接稳定程度、音质，根据个人用途选择。
基于问题四：在蓝牙耳机市场，口碑好的售后服务也不错；种类也很广泛。
1.所选的品牌蓝牙耳机具有代表性。
2.考虑的评价因素具有可行性。
3.查到的相关数据具有真实性。
4.蓝牙耳机市场的波动具有稳定性。
1.
: 表示第
个因素对第
个因素的影响，且
=1/
。
: 表示第
个因素对第
个因素的影响，且
=1/
。
个因素对第
个因素的影响，且
=1/
。
个因素的影响，且
=1/
。
=1/
。
。
2.
表示矩阵的行，
表示矩阵的列。
表示矩阵的行，
表示矩阵的列。
表示矩阵的列。
3.
：表示成对比较阵的特征向量。
：表示成对比较阵的特征向量。
4.
：表示成对比较阵的特征值。
：表示成对比较阵的特征值。
5.
：表示矩阵。
：表示矩阵。
6.
：表示成对比较阵的权向量。
：表示成对比较阵的权向量。
7.
：表示成对比较阵的阶数。
：表示成对比较阵的阶数。
8.
:表示一致性检验指标，即一致性比率。
:表示一致性检验指标，即一致性比率。
9.
:表示一致性指标。
:表示一致性指标。
10.
:表示SATTY等人提出的随机一致性指标。
:表示SATTY等人提出的随机一致性指标。
一、将决策问题分为三个层次
A.最上层：目标层。即选购一台蓝牙耳机
B.中间层：指标层。即①价格②功能③颜值
C.最下层：方案层。即①Air Pods②小米降噪耳机Pro③OPPO Enco Free
二、层次结构模型如下
6.1构造成对比较阵
具体：采用层次分析法，比较下层对上层的影响程度，确定该层中各要素所占比重。
用
表示第
个因素对第
个因素的影响，且
=1/
九级标度
标度 | 1 | 2 3 | 4 5 | 6 7 | 8 9 |
含义 | 相同 | 稍强 | 强 | 明显强 | 绝对强 |
表 1
1.指标层对目标层的成对比较阵
2.方案层对指标层的成对比较阵
价格
功能
颜值
6.2计算特征值和特征向量
通过MATLAB软件计算以上矩阵的特征向量和特征值
W0=
特征值：
0=3.0649
W1=
特征值：
1= 3.0092
W2=
特征值：
2= 3.0037
W3=
特征值：
3= 3.0037
6.3归一化特征向量
W0=
W1=
W2=
W3=
6.4一致性检验
检验标准：利用公式
若 CR<0.1 ,则一致性检验通过。
RI:随机一致性指标
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
RI | 0 | 0 | 0.58 | 0.90 | 1.12 | 1.24 | 1.32 | 1.41 | 1.45 | 1.49 | 1.51 |
表 2
计算上述构造的成对比较阵的一致性比率：
=0.0036 <0.1,一致性检验通过。
6.5评价优劣次序
6.5.1 计算权向量
若成对比较阵一致性检验通过，则计算得到的特征向量即为权向量。
1.指标层对目标层的权向量
=
=
2.方案层对指标层的权向量：
6.5.2组合权向量
方案一对目标的组合权重：（0.7306*（0.5396+0.2970+0.1634））=0.7306
方案二对目标的组合权重：（0.1884*（0.5816+0.3090+0.1095））=0.1884
方案三对目标的组合权重：（0.0810*（0.6483+0.2297+0.1220））=0.0810
6.5.3结果分析
即结果表明方案1在选择中占的权重为0.7306方案二为0.1884方案三为0.0810
故选购蓝牙耳机最优方案为方案一Air Pods。
7.1综述
如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。
为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：
1、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多；
2、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。
7.2模型的优点分析
1.系统性的分析方法：
层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。
2.简洁实用的决策方法：
这种方法既不单纯追求高深数学，又不片面地注重行为、逻辑、推理，而是把定性方法与定量方法有机地结合起来。
3.所需定量数据信息较少：
层次分析法主要是从评价者对评价问题的本质、要素的理解出发，比一般的定量方法更讲求定性的分析和判断。
7.3模型的缺点分析
1.不能为决策提供新方案：
层次分析法的作用是从备选方案中选择较优者。这个作用正好说明了层次分析法只能从原有方案中进行选取，而不能为决策者提供解决问题的新方案。
2.定量数据较少，定性成分多，不易令人信服：
在如今对科学的方法的评价中，一般都认为一门科学需要比较严格的数学论证和完善的定量方法。但现实世界的问题和人脑考虑问题的过程很多时候并不是能简单地用数字来说明一切的。
3.指标过多时数据统计量大，且权重难以确定：
当我们希望能解决较普遍的问题时，指标的选取数量很可能也就随之增加。
4.特征值和特征向量的精确求法比较复杂：
在求判断矩阵的特征值和特征向量时，所用的方法和我们多元统计所用的方法是一样的。
一、领导干部选拔问题
图 2
二、毕业工作选择问题
图 3
三、国家实力分析问题
图 4
1.《蓝牙耳机排行榜》
2.《消费者如何选购蓝牙耳机》
3.【】姜启源等。 《数学模型第三版》
4.《厦门大学数学建模视频讲解》
用MATLAB软件求解特征值、特征向量的程序代码
方法一：命令行直接输
1.输入要判断的矩阵
2.利用函数：[x,y]=eig(y)求出特征向量矩阵，特征值矩阵
3.利用函数：diag(y) 得到特征值
方法二：利用.M文件
Format short; //输出格式
disp('请输入判断矩阵A（n阶）'); //输入要判断的矩阵
[V,D]=eig(A)
Tbmax=max(d(:)) //得到列数和行数
Sum=0；//将特征向量标准化
