卷 仿真模拟卷 2(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x 2 ≤4}，那么∁ U A 等于()A．(－∞，－2)B．(2，＋∞)C．(－2,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 D 解析 ∵全集 U＝R，集合 A＝{x|x 2 ≤4}＝{x|－2≤x≤2}，∴∁ U A＝{x|x<－2 或 x>2}＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 2．设复数 z 满足(2－i)z＝2＋i，则 z 在复平面内所对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 A 解析 z＝ 2＋i2－i ＝2＋i2＋i2－i2＋i ＝3＋4i5＝ 35 ＋45 i，则 z 在复平面内所对应的点的坐标为 35，45，位于第一象限． 3．某市气象部门根据 2018 年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位：℃)数据，绘制如下折线图：
那么，下列叙述错误的是()A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关 B．全年中，2 月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大 C．全年中各月最低气温平均值不高于 10 ℃的月份有 5 个 D．从 2018 年 7 月至 12 月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势 答案 D 解析 A 项，各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关，故 A 正确；B 项，由折
线图可知全年中，2 月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故 B 正确；C 项，全年中各月最低气温平均值不高于 10℃的月份有 1 月、2 月、3 月、11 月、12 月，共 5 个，故 C 正确；D 项，从 2018 年 7 月至 12 月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值中，7月至 8 月呈上升趋势，故 D 错误． 4．设 x，y 满足约束条件 y≤x＋1，y≥ x2，y≤－ x2，则 z＝x－4y 的最大值为()A．－2 B．2 C．0 D．4 答案 B 解析 画出可行域如图所示阴影部分，将目标函数 z＝x－4y，转化为 y＝ 14 x－14 z，平移直线 y＝ 14 x，当直线在 y 轴上截距最小时，经过点 A(－2，－1)，此时，目标函数取得最大值，最大值为 2.5．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sin Bsin C＝ 3sin A，△ABC 的面积为 3 32，a＋b＝3 3，则 c 等于()A.21 B.3 C.21或 3 D.21或 3 答案 D 解析 由 sin Bsin C＝ 3sin A，及正弦定理得 sin C＝3ab，又 S △ ABC ＝ 12 absin C，∴12 ab·3ab＝ 3 32，解得 a＝ 3，又 a＋b＝3 3，∴b＝2 3，∴sin C＝32，则 cos C＝±12，由余弦定理 c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2abcos C，得 c 2 ＝15±6，解得 c＝3 或 c＝ 21.6.体育品牌 Kappa 的 LOGO 为 可抽象为：如图背靠背而坐的两条优美的曲线，下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是()A．f(x)＝sin 6x2－ x －2 x B．f(x)＝cos 6x2 x －2－ x C．f(x)＝sin 6x|2 x －2－ x | D．f(x)＝cos 6x|2 x －2－ x | 答案 D 解析 因为 B，C 选项中的两个函数均是奇函数，故不符合题意；对于 A，当 x 趋近于 0 且足够小时，f(x)<0，不符合题意；对于 D，因为 f(x)＝f(－x)，满足 x 趋近于 0 且足够小时函数值 f(x)>0.7．(2020·德州模拟)已知 2 a ＝3·2 b－ 1，c－b＝12log(x 2 ＋2x＋3)，则实数 a，b，c 的大小关系是()A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b 答案 A 解析 ∵2 a ＝3·2 b－ 1，∴2 a － b ＋ 1 ＝3>2，∴a－b＋1>1，则 a>b.∵x 2 ＋2x＋3＝(x＋1)2 ＋2≥2，∴c－b＝12log(x 2 ＋2x＋3)≤12log 2＝－1，∴b>c.∴a>b>c.8.如图，在正方体 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 中，M，N，P 分别是 C 1 D 1，BC，A 1 D 1 的中点，有下列四个结论：
①AP 与 CM 是异面直线；②AP，CM，DD 1 相交于一点；③MN∥BD 1 ； ④MN∥平面 BB 1 D 1 D.其中所有正确结论的序号是()A．①④ B．②④ C．①③ D．②③④
答案 B 解析 因为 MP∥AC，MP≠AC，所以 AP 与 CM 是相交直线，又平面 A 1 ADD 1 ∩平面 C 1 CDD 1＝DD 1，所以 AP，CM，DD 1 相交于一点，则①不正确，②正确；令 AC∩BD＝O，因为 M，N 分别是 C 1 D 1，BC 的中点，所以 ON∥D 1 M∥CD，且 ON＝D 1 M＝ 12 CD，则四边形 MNOD 1为平行四边形，所以 MN∥OD 1，又 MN⊄平面 BB 1 D 1 D，OD 1 ⊂平面 BB 1 D 1 D，所以 MN∥平面BB 1 D 1 D，所以③不正确，④正确． 9．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而提出，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{a n }满足 a 1 ＝1，a 2 ＝1，a n ＝a n － 1 ＋a n － 2(n≥3，n∈N *)．如图是输出斐波那契数列的一个程序框图，现要输出斐波那契数列的前 50 项，则图中的空白框应填入()A．A＝B，B＝C B．B＝A，C＝B C．C＝A，B＝C D．A＝C，C＝B 答案 A 解析 执行第 1 次，A＝1，B＝1，C＝2，i＝4，循环，因为第二次应该计算 C＝1＋2，i＝i＋1＝5，循环，执行第 3 次，因为第三次应该计算 C＝2＋3，由此可得图中的空白框应填入 A＝B，B＝C.10．已知 M(1,0)，N 是曲线 y＝e x 上一点，则|MN|的最小值为()A．1 B.2 C．e D.e 4 ＋1 答案 B 解析 y＝e x 的导数为 y′＝e x.设 N(m，e m)，可得过 N 的切线的斜率为 e m，当 MN 垂直于切线时，|MN|取得最小值，可得e mm－1 ＝－1e m，则 e2m ＋m＝1.因为 f(x)＝e 2x ＋x 单调递增，且 f(0)＝1，所以 m＝0.所以|MN|的最小值为 1 2 ＋1 2 ＝ 2.11．点 P(1,1)是抛物线 C：y＝x 2 上一点，斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于点 A，B，且 PA⊥PB，设直线 PA，PB 的斜率分别为 k 1，k 2，则()A．k＝k 1 ＋k 2 B.1k ＝1k 1 ＋1k 2 C．直线 l 过点(1，－2)D．直线 l 过点(－1,2)答案 D 解析 设 A(x 1，x 2 1)，B(x 2，x 2 2)，则 k 1 ＝ x21 －1x 1 －1 ＝x 1 ＋1，k 2 ＝x 2 2 －1x 2 －1 ＝x 2 ＋1，k＝ x21 －x 2 2x 1 －x 2 ＝x 1 ＋x 2，所以 k＝k 1 ＋k 2 －2.直线 l 的方程为 y－x 2 1 ＝(x 1 ＋x 2)(x－x 1)，即 y＝(x 1 ＋x 2)x－x 1 x 2，因为 PA⊥PB，所以(x 1 ＋1)(x 2 ＋1)＝－1，即 x 1 ＋x 2 ＋2＝－x 1 x 2，代入方程整理得 y－2＝(x 1 ＋x 2)(x＋1)，则直线 l 过点(－1,2)． 12．已知函数 f(x)＝ 3sin 2 ωx2＋ 12 sin ωx－32(ω>0)，若 f(x)在 π2，3π2上无零点，则 ω 的取值范围是()A.0，29∪ 89，＋∞ B.0，29∪ 23，89 C.0，29∪ 89，1 D.29，89∪[1，＋∞)答案 B 解析 ∵f(x)＝ 3sin 2 ωx2＋ 12 sin ωx－32 ＝32(1－cos ωx)＋ 12 sin ωx－32 ＝ 12 sin ωx－32cos ωx＝sin ωx－ π3(ω>0)，若 π2 根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在横线上． ①________________________________________________________________________.②________________________________________________________________________.答案 甲省比乙省的新增人数的平均数低 甲省比乙省的方差要大 解析 根据折线图知，①甲省比乙省的新增人数的平均数低；②甲省比乙省的方差要大． 16．(2020·泰安模拟)已知直线 l：3x＋4y＋m＝0，圆 C：x 2 ＋y 2 －4x＋2＝0，则圆 C 的半径 r＝______；若在圆 C 上存在两点 A，B，在直线 l 上存在一点 P，使得∠APB＝90°，则实数 m的取值范围是________． 答案 2 [－16,4] 解析 由圆 x 2 ＋y 2 －4x＋2＝0，得(x－2)2 ＋y 2 ＝2，所以圆 C 的半径 r＝ 2.①当直线 l：3x＋4y＋m＝0 与圆 C：x 2 ＋y 2 －4x＋2＝0 有交点时，显然满足题意，此时|6＋m|9＋16≤ 2，解得－6－5 2≤m≤－6＋5 2，②当直线 l：3x＋4y＋m＝0 与圆 C：x 2 ＋y 2 －4x＋2＝0 无交点时，此时 m<－6－5 2或 m>－6＋5 2，“在圆 C 上存在两点 A，B，在直线 l 上存在一点 P，使得∠APB＝90°”等价于“直线 l 上存在点 P，过点 P 作圆的两条切线，其夹角大于等于 90°”，设两个切点为 M，N，则∠MPN≥90°，所以∠MPC≥45°，所以 sin∠MPC＝ |MC||PC| ≥sin 45°＝22，所以|PC|≤2，根据题意可得直线 l 上存在点 P，使得|PC|≤2，等价于|PC| min ≤2，又|PC|的最小值为圆心 C 到直线 l 的距离，所以 |3×2＋4×0＋m|3 2 ＋4 2≤2，解得－16≤m≤4.又 m<－6－5 2或 m>－6＋5 2，所以－16≤m<－6－5 2或－6＋5 2 月份 x 1 2 3 4 5 销量 y(百台)0.6 0.8 1.2 1.6 1.8(1)经分析发现 1 月到 5 月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量 y(百台)与月份 x 之间的相关关系．请用最小二乘法求 y 关于 x 的线性回归方程y^＝b^x＋a^，并预测 6 月份该商场空调的销售量；(2)若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对 7 月到 12 月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查．假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的 500 名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表： 有购买意愿对应的月份 7 8 9 10 11 12 频数 60 80 120 130 80 30 现采用分层抽样的方法从购买意愿在 7 月与 12 月的 90 名顾客中随机抽取 6 名，再从这 6 人中随机抽取 3 人进行跟踪调查，求抽出的 3 人中恰好有 2 人的购买意愿在 12 月份的概率． 参考公式与数据：线性回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝i ＝ 1nx i y i －n x yi ＝ 1nx 2 i －n x2，i ＝ 15x i y i ＝21.2.解(1)因为 x ＝ 15 ×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝ 15 ×(0.6＋0.8＋1.2＋1.6＋1.8)＝1.2，i ＝ 15x 2 i ＝1 2 ＋2 2 ＋3 2 ＋4 2 ＋5 2 ＝55，所以b^＝ 21.2－5×3×1.255－5×3 2＝0.32，则a^＝1.2－0.32×3＝0.24，所以 y 关于 x 的线性回归方程为y^＝0.32x＋0.24.当 x＝6 时，y^＝0.32×6＋0.24＝2.16(百台)．(2)购买意愿为 7 月份的 4 人记为 a，b，c，d，购买意愿为 12 月份的 2 人记为 A，B，从这 6 人中随机抽取 3 人的所有情况为(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，A)，(a，b，B)，(a，c，d)，(a，c，A)，(a，c，B)，(a，d，A)，(a，d，B)，(a，A，B)，(b，c，d)，(b，c，A)，(b，c，B)，(b，d，A)，(b，d，B)，(b，A，B)，(c，d，A)，(c，d，B)，(c，A，B)，(d，A，B)，共 20 种，恰好有 2 人的购买意愿在 12 月份的有(a，A，B)，(b，A，B)，(c，A，B)，(d，A，B)，共 4 种，故所求概率为 P＝420 ＝15.19．(12 分)如图几何体中，四边形 ABCD 为矩形，AB＝3BC＝6，BF＝CF＝AE＝DE＝2，EF＝4，EF∥AB，G 为 FC 的中点，M 为线段 CD 上的一点，且 CM＝2.(1)证明：平面 BGM⊥平面 BFC；(2)求三棱锥 F－BMC 的体积 V.(1)证明 如图，连接 FM.∵BF＝CF＝BC＝2，G 为 CF 的中点，∴BG⊥CF.∵CM＝2，∴DM＝4，∵EF∥AB，四边形 ABCD 为矩形，∴EF∥DM，又∵EF＝DM＝4，∴四边形 EFMD 为平行四边形，∴FM＝ED＝2，∴△FCM 为正三角形，∴MG⊥CF，∵MG∩BG＝G，且 MG⊂平面 BGM，BG⊂平面 BGM，∴CF⊥平面 BGM.又∵CF⊂平面 BFC，∴平面 BGM⊥平面 BFC.(2)解 V F － BMC ＝V F － BMG ＋V C － BMG ＝ 13 ×S △ BMG ×FC ＝ 13 ×S △ BMG ×2，∵GM＝BG＝ 3，BM＝2 2，∴S △ BMG ＝ 12 ×2 2×1＝ 2.∴V F － BMC ＝ 23 ×S △ BMG ＝2 23.20．(12 分)已知椭圆 x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)上的点 P 到左、右焦点 F 1，F 2 的距离之和为 2 2，且离心率为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)过 F 2 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，点 C 与点 B 关于 x 轴对称，求△AF 2 C 面积的最大值． 解(1)因为|PF 1 |＋|PF 2 |＝2a＝2 2，所以 a＝ 2，又因为 e＝ ca ＝22，所以 c＝22× 2＝1，所以 b 2 ＝a 2 －c 2 ＝2－1＝1，所以椭圆的标准方程为 x22 ＋y2 ＝1.(2)由题意可知直线 l 的斜率必存在，又 F 2(1,0)，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 2，－y 2)． 联立直线与椭圆的方程 y＝kx－1，x 22 ＋y2 ＝1，化简得(1＋2k 2)x 2 －4k 2 x＋2k 2 －2＝0，所以 x 1 ＋x 2 ＝4k 21＋2k 2，x 1 x 2 ＝2k 2 －21＋2k 2.2AF CS △ ＝S △ ABC －2F BCS △ ＝ 12 |2y 2 ||(x 1 －x 2)－(1－x 2)| ＝|y 2(x 1 －1)|＝|k(x 1 －1)(x 2 －1)| ＝|k(x 1 x 2 －x 1 －x 2 ＋1)| ＝ k1＋2k 2＝12k＋ 1k≤24，当且仅当|2k|＝1|k|，即 k＝±22时，等号成立． 所以△AF 2 C 面积的最大值为24.21．(12 分)已知函数 f(x)＝ ex ＋ax＋(a＋1)ln x－x－a.(1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数；(2)若 f(x)的最小值为 e－1，求 a 的取值范围． 解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ x－1ex －x 2 ＋a＋1x－ax 2 ＝ x－1ex －x－1x－ax 2＝ x－1ex －x＋ax 2，令 f′(x)＝0，解得 x＝1 或 e x －x＝－a，令 g(x)＝e x －x(x>0)，则 g′(x)＝e x －1>0，故 g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故 g(x)>g(0)＝1.又当 x＝1 时 e 1 －1＝－a⇒a＝1－e.故当 a≥－1 或 a＝1－e 时，f′(x)只有一个零点； 当 1－e 若关于 x 的方程 f(x)＝msin α 恰有一个实数根，则 msin α＝ 12 有解，又 α∈(0，π)，m＝12sin α，所以 m 的取值范围为 12，＋∞.
