1 初三年级某班有 54 名学生，所在教室有 6 行 9 列座位，用（m，n）表示第 m 行第 n 列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j），则称该生作了平移[ a，b ]＝[ m － i，n － j ]，并称 a ＋ b 为该生的位置数，若某生的位置数为 10，则当 m ＋ n 取最小值时，m · n的最大值为________． 2，如图，在△ ABC 中，AB ＝ AC，BC ＝8，如果将△ ABC 沿直线 l 翻折后，点 B 落在边 AC的中点处，直线 l 与边 BC 交于点 D，那么 BD 的长为________． 3，如图，直线 l 与⊙ O 相切于点 D，过圆心 O 作 EF ∥ l 交⊙ O 于 E、F 两点，点 A 是⊙ O 上一点，连接AE、AF，并分别延长交直线 l 于 B、C 两点．(1)求证：∠ ABC ＋∠ ACB ＝90°；(2)当⊙ O 的半径 R ＝5，BD ＝12 时，求 tan ∠ ACB 的值． 4，如图，已知 AB 是⊙ O 的直径，BC 是⊙ O 的弦，弦 ED ⊥ AB 于点 F，交 BC 于点 G，过点 C 的直线与 ED 的延长线交于点 P，PC ＝ PG ．(1)求证：
PC 是⊙ O 的切线；(2)当点 C 在劣弧 AD 上运动时，其他条件不变，若 BG2 ＝ BF · BO，求证：点G 是 BC 的中点；(3)在满足(2)的条件下，AB ＝10，求 BG 的长．
5，如图，抛物线 y ＝－ x 2 ＋ bx ＋ c 与直线 交于 C、D 两点，其中点 C 在 y 轴上，点 D 的坐标为 ．点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点，过点 P 作 PE ⊥ x 轴于点 E，交 CD 于点 F ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点 P 的横坐标为 m，当 m 为何值时，以 O、C、P、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．(3)若存在点 P，使∠ PCF ＝45°，请直接写出相应的点 P 的坐标． 6，如图，AB 是半圆 O 的直径，AB ＝2．射线 AM、BN 为半圆 O 的切线．在 AM 上取一点 D，连接 BD交半圆于点 C，连接 AC ．过 O 点作 BC 的垂线 OE，垂足为点 E，与 BN 相交于点 F ．过 D 点作半圆 O的切线 DP，切点为 P，与 BN 相交于点 Q.（1）求证：△ ABC ∽△ OFB ；（2）当△ ABD 与△ BFO 的面积相等时，求 BQ 的长；（3）求证：当 D 在 AM 上移动时（A 点除外），点 Q 始终是线段 BF 的中点.7，在矩形 ABCD 中，点 P 是边 AD 上的动点，连接 BP，线段 BP 的垂直平分线交边 BC 于点 Q，垂足为点 M，联结 QP(如图)．已知 AD ＝13，AB ＝5，设 AP ＝ x，BQ ＝ y ．(1)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；(2)当以 AP 长为半径的⊙ P 和以 QC 长为半径的⊙ Q 外切时，求 x 的值；(3)点 E 在边 CD 上，过点 E 作直线 QP 的垂线，垂足为 F，如果 EF ＝ EC ＝4，求 x 的值． 8，如图，二次函数 的图象与 x 轴交于点 A(－3，0)和点 B，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 DP，过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E ．(1)请直接写出点 D 的坐标：________；(2)当点 P 在线段 AO(点 P 不与 A、O 重合)上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值，求出这个最大值；(3)是否存在这样的点 P，使△ PED 是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标及此时△ PED 与正方形ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由． 9，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y ＝2 x ＋2 的图象与 x 轴交于 A，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为(a，0)，(其中 a ＞0)，直线 l 过动点 M(0，m)(0＜ m ＜2)，且与 x 轴平行，并与直线 AC、BC 分别相交于点 D、E，P 点在 y 轴上(P 点异于 C 点)满足 PE ＝ CE，直线 PD 与 x 轴交于点 Q，连接 PA ．(1)写出 A、C 两点的坐标；(2)当 0＜ m ＜1 时，若△ PAQ 是以 P 为顶点的倍边三角形(注：若△ HNK 满足 HN ＝2 HK，则称△ HNK为以 H 为顶点的倍边三角形)，求出 m 的值；(3)当 1＜ m ＜2 时，是否存在实数 m，使 CD · AQ ＝ PQ · DE ？若能，求出 m 的值(用含 a 的代数式表示)；若不能，请说明理由．
10，已知：如图①，在平行四边形 ABCD 中，AB =12，BC =6，AD ⊥ BD ．以 AD 为斜边在平行四边形 ABCD的内部作 Rt △ AED，∠ EAD =30°，∠ AED =90°．(1)求△ AED 的周长；(2)若△ AED 以每秒 2 个单位长度的速度沿 DC 向右平行移动，得到△ A 0 E 0 D 0，当 A 0 D 0 与 BC 重合时停止移动，设运动时间为 t 秒，△ A 0 E 0 D 0 与△ BDC 重叠的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；(3)如图②，在(2)中，当△ AED 停止移动后得到△ BEC，将△ BEC 绕点 C 按顺时针方向旋转 α(0°＜α＜180°)，在旋转过程中，B 的对应点为 B 1，E 的对应点为 E 1，设直线 B 1 E 1 与直线 BE 交于点 P、与直线 CB 交于点Q ．是否存在这样的 α，使△ BPQ 为等腰三角形？若存在，求出 α 的度数；若不存在，请说明理由．
